Inversa e condicionamento

Desfazer uma transformação

Uma matriz quadrada $A$ tem inversa $A^{-1}$ , com $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ , exatamente quando sua transformação não perde informação: entradas diferentes dão saídas diferentes. O determinante mede como $A$ altera volumes (com sinal para inversões), então $A$ é invertível exatamente quando $\det A\neq0$ . Para uma matriz $2\times2$ , $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ . Regras úteis: $\det(AB)=\det A\,\det B$ e $\det(A^{-1})=1/\det A$ .

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

Invertível não significa seguro. O número de condição $\kappa(A)$ diz quanto um pequeno erro relativo em $\mathbf{b}$ (ou nas entradas de $A$ ) pode ser ampliado na solução $\mathbf{x}$ . Regra prática: perdem-se cerca de $\log_{10}\kappa$ dos aproximadamente 16 dígitos da precisão dupla. Um determinante pequeno por si só não prova nada, porque depende da escala: $0{,}001\,I$ tem determinante minúsculo, mas $\kappa=1$ . O que torna $\kappa$ enorme são colunas quase colineares.

Uma inversa e um quase erroPara

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

\det A=24-14=10

, então

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

. Compare agora

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1{,}0001\end{pmatrix}

: suas colunas são quase iguais,

\det B=0{,}0001

\kappa(B)

é cerca de

4\times10^{4}

, de modo que um erro relativo de

10^{-6}

nos dados pode virar um erro de cerca de

4\,\%

na solução.

Invertível: quadrada com $\det A\neq0$ ; nenhuma informação se perde.
Número de condição: quanto os erros nos dados são ampliados; um valor grande indica uma resolução frágil.
Nunca forme $A^{-1}$ para resolver: uma resolução por fatoração é mais rápida e precisa.

Ativos colineares quebram matrizes de covariânciaDois ETFs que acompanham quase o mesmo índice dão uma matriz de covariância com linhas quase iguais. O seu

\kappa

é enorme, então um otimizador de variância mínima baseado na inversa oscila muito com pequenas mudanças nos dados. Verifique

\kappa

(ou elimine ou combine os quase duplicados) antes de confiar nos pesos.

Lab: o que é avaliado

A inversa de uma matriz 2 por 220 pts
Um determinante 3 por 310 pts
Achar a matriz singular15 pts
Dígitos confiáveis15 pts
Boas práticas numéricas15 pts
Regras do determinante10 pts
Por que não inverter15 pts

Desfazer uma transformação

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

Uma inversa e um quase erroPara

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

\det A=24-14=10

, então

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

. Compare agora

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1{,}0001\end{pmatrix}

: suas colunas são quase iguais,

\det B=0{,}0001

\kappa(B)

é cerca de

4\times10^{4}

, de modo que um erro relativo de

10^{-6}

nos dados pode virar um erro de cerca de

4\,\%

na solução.

Invertível: quadrada com $\det A\neq0$ ; nenhuma informação se perde.
Número de condição: quanto os erros nos dados são ampliados; um valor grande indica uma resolução frágil.
Nunca forme $A^{-1}$ para resolver: uma resolução por fatoração é mais rápida e precisa.

Ativos colineares quebram matrizes de covariânciaDois ETFs que acompanham quase o mesmo índice dão uma matriz de covariância com linhas quase iguais. O seu

\kappa

é enorme, então um otimizador de variância mínima baseado na inversa oscila muito com pequenas mudanças nos dados. Verifique

\kappa

(ou elimine ou combine os quase duplicados) antes de confiar nos pesos.

Lab: o que é avaliado

A inversa de uma matriz 2 por 220 pts
Um determinante 3 por 310 pts
Achar a matriz singular15 pts
Dígitos confiáveis15 pts
Boas práticas numéricas15 pts
Regras do determinante10 pts
Por que não inverter15 pts

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