Inverse und Konditionierung

Eine Abbildung rückgängig machen

Eine quadratische Matrix $A$ hat genau dann eine Inverse $A^{-1}$ mit $A^{-1}A=AA^{-1}=I$, wenn ihre Abbildung keine Information verliert: Verschiedene Eingaben ergeben verschiedene Ausgaben. Die Determinante misst, wie $A$ Volumina skaliert (mit Vorzeichen für Spiegelungen); $A$ ist also genau dann invertierbar, wenn $\det A\neq0$. Für eine $2\times2$-Matrix gilt $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. Nützliche Regeln: $\det(AB)=\det A\,\det B$ und $\det(A^{-1})=1/\det A$.

Invertierbar heißt nicht sicher. Die Konditionszahl $\kappa(A)$ sagt, wie stark ein kleiner relativer Fehler in $\mathbf{b}$ (oder in den Einträgen von $A$) in der Lösung $\mathbf{x}$ verstärkt werden kann. Faustregel: Man verliert etwa $\log_{10}\kappa$ der rund 16 Stellen der doppelten Genauigkeit. Eine kleine Determinante allein beweist nichts, denn sie hängt vom Maßstab ab: $0{,}001\,I$ hat eine winzige Determinante, aber $\kappa=1$. Nahezu kollineare Spalten machen $\kappa$ riesig.

• Invertierbar: quadratisch mit $\det A\neq0$; keine Information geht verloren.
• Konditionszahl: wie stark Fehler in den Daten verstärkt werden; eine große Zahl bedeutet eine fragile Lösung.
• Bilden Sie nie $A^{-1}$ zum Lösen: Eine Lösung per Zerlegung ist schneller und genauer.

Lab: Was bewertet wird

• Die Inverse einer 2-mal-2-Matrix20 Pkt.
• Eine 3-mal-3-Determinante10 Pkt.
• Die singuläre Matrix finden15 Pkt.
• Verlässliche Stellen15 Pkt.
• Gute numerische Praxis15 Pkt.
• Determinantenregeln10 Pkt.
• Warum nicht invertieren15 Pkt.