Rang und Kern

Was eine Matrix erreichen kann

Die Vektoren, die man als $A\mathbf{x}$ erreichen kann, bilden den Spaltenraum von $A$: alle Kombinationen seiner Spalten. Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner eine Kombination der übrigen ist. Eine Basis ist eine unabhängige Menge, die einen Raum aufspannt; ihre Vektorzahl ist die Dimension. Der Rang von $A$ ist die Dimension des Spaltenraums, gleich der Zahl der Pivots bei der Elimination und der Zahl der unabhängigen Spalten (und Zeilen).

Der Kern von $A$ ist die Menge der $\mathbf{x}$ mit $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$: die Eingaben, die die Abbildung auf nichts schickt. Seine Dimension, die Nullität, ist $n-\operatorname{Rang}(A)$ (Rang-Nullitäts-Satz). Das entscheidet jedes lineare System. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ist genau dann lösbar, wenn $\mathbf{b}$ im Spaltenraum liegt; dann besteht die Lösungsmenge aus einer speziellen Lösung plus beliebigen Elementen des Kerns, die Lösung ist also genau dann eindeutig, wenn der Kern $\{\mathbf{0}\}$ ist.

• Spaltenraum: alle $A\mathbf{x}$; $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ist genau dann lösbar, wenn $\mathbf{b}$ darin liegt.
• Kern: alle $\mathbf{x}$ mit $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$; enthält er mehr als $\mathbf{0}$, sind Lösungen nie eindeutig.
• Rang-Nullitäts-Satz: Rang plus Nullität ist gleich der Spaltenzahl.

Lab: Was bewertet wird

• Der Rang15 Pkt.
• Die Nullität15 Pkt.
• Ein Kernvektor15 Pkt.
• Wann ist das System lösbar15 Pkt.
• Wie viele Lösungen20 Pkt.
• Redundante Assets20 Pkt.