Position dans le parcoursModule 3 sur 4 · Sujet 1 sur 2
3.1 Rang et noyau
—Score du lab— / 100XP total—Série—
Ce qu'une matrice peut atteindre
Les vecteurs atteignables sous la forme Ax forment l'espace des colonnes de A : toutes les combinaisons de ses colonnes. Des vecteurs sont linéairement indépendants si aucun n'est combinaison des autres. Une base est une famille indépendante qui engendre un espace, et son nombre de vecteurs est la dimension. Le rang de A est la dimension de son espace des colonnes, égale au nombre de pivots de l'élimination et au nombre de colonnes (et de lignes) indépendantes.
rank(A)+dimnull(A)=n(1)
Le noyau de A est l'ensemble des x tels que Ax=0 : les entrées que l'application envoie sur rien. Sa dimension, la nullité, vaut n−rang(A) (théorème du rang). Cela décide de tout système linéaire. Ax=b a une solution exactement quand b est dans l'espace des colonnes ; dans ce cas, les solutions sont une solution particulière plus n'importe quel élément du noyau, donc la solution est unique exactement quand le noyau est {0}.
Une matrice à ligne redondantePrenons A=121240361. La ligne 2 vaut deux fois la ligne 1 : seules deux lignes sont indépendantes, le rang est 2 et la nullité 3−2=1. Résoudre Ax=0 donne x1=−x3 et x2=−x3, donc le noyau est engendré par (1,1,−1). Alors Ax=b n'est résoluble que si b2=2b1, et dans ce cas il y a une infinité de solutions, une droite entière.
Espace des colonnes : tous les Ax ; Ax=b est résoluble exactement quand b y appartient.
Noyau : tous les x tels que Ax=0 ; s'il contient plus que 0, les solutions ne sont jamais uniques.
Théorème du rang : rang plus nullité égale le nombre de colonnes.
Le rang dans les données : des actifs redondantsSi la série de rendements d'un actif est exactement une combinaison d'autres (un ETF et ses composants, ou la somme de deux rendements sectoriels), la matrice de données perd du rang, sa covariance est singulière et une régression sur tous n'a pas de solution unique. Les données réelles sont rarement exactement dépendantes mais le sont souvent presque, et c'est le mauvais conditionnement du sujet précédent.
Lab : ce qui est noté
Le rang15 pts
La nullité15 pts
Un vecteur du noyau15 pts
Quand le système est-il résoluble15 pts
Combien de solutions20 pts
Des actifs redondants20 pts
0/ 6 traités
1Réponse numérique15 ptsSans réponse
Soit A=121240361. Quel est le rang de A ?
rank=accepté : ± 0.001
2Réponse numérique15 ptsSans réponse
Une matrice a 4 lignes, 6 colonnes et un rang 3. Quelle est la dimension de son noyau ?
nullity=accepté : ± 0.001
3Choix15 ptsSans réponse
Soit A=121240361. Quel vecteur vérifie Ax=0 ?
4Choix15 ptsSans réponse
Soit A=121240361. Pour quel second membre b le système Ax=b a-t-il une solution ?
5Associer20 ptsSans réponse
Associez chaque situation à ce qui arrive à ses solutions.
Choisissez le partenaire de chaque élément de gauche.
Une matrice carrée de rang plein
Rang inférieur au nombre de colonnes, et b dans l'espace des colonnes
b hors de l'espace des colonnes
Rang plein en colonnes et b=0
6Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse
Deux actifs d'une régression sont presque des doublons (l'un vaut presque le double de l'autre). En deux phrases, dites pourquoi la régression devient instable.
Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 6 · Ctrl ⏎ pour vérifier
