階数と零空間

行列が到達できるもの

$A\mathbf{x}$ の形で到達できるベクトルの集まりが $A$ の列空間で、列のあらゆる組み合わせです。どのベクトルも他の組み合わせで書けないとき、それらは線形独立です。基底は空間を張る独立な集合で、その個数が次元です。$A$ の階数は列空間の次元で、消去法のピボットの数、独立な列（および行）の数に等しくなります。

$A$ の零空間は $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{x}$ の集合で、写像が「無」に送ってしまう入力です。その次元（退化次数）は $n-\operatorname{rank}(A)$ です（階数・退化次数の定理）。これですべての連立一次方程式が決まります。$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ に解があるのは $\mathbf{b}$ が列空間にあるときに限り、その場合の解は1つの特解に零空間の任意の元を加えたものです。したがって解が一意なのは零空間が $\{\mathbf{0}\}$ のときに限ります。

• 列空間：すべての $A\mathbf{x}$。$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ が解けるのは $\mathbf{b}$ がここにあるときに限る。
• 零空間：$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ を満たすすべての $\mathbf{x}$。$\mathbf{0}$ 以外を含むなら解は一意にならない。
• 階数・退化次数の定理：階数と退化次数の和は列の数に等しい。

ラボ：採点される内容

• 階数15点
• 退化次数15点
• 零空間のベクトル15点
• 解を持つ条件15点
• 解の個数20点
• 冗長な資産20点