الرتبة والفضاء الصفري

ما تستطيع المصفوفة بلوغه

المتجهات التي يمكن بلوغها على الصورة $A\mathbf{x}$ تشكل فضاء الأعمدة لـ $A$ : كل تراكيب أعمدتها. تكون المتجهات مستقلة خطيًا إذا لم يكن أحدها تركيبًا من البقية. والأساس مجموعة مستقلة تولّد فضاءً، وعدد متجهاتها هو البُعد. ورتبة $A$ هي بُعد فضاء أعمدتها، وتساوي عدد المحاور في الحذف وعدد الأعمدة المستقلة (وكذلك الصفوف المستقلة).

\operatorname{rank}(A)+\dim\operatorname{null}(A)=n

(1)

الفضاء الصفري لـ $A$ هو مجموعة $\mathbf{x}$ التي تحقق $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ : المدخلات التي يرسلها التحويل إلى لا شيء. وبعده، أي الصفرية، يساوي $n-\operatorname{rank}(A)$ (مبرهنة الرتبة والصفرية). وهذا يحسم كل نظام خطي. فللمعادلة $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ حل تمامًا حين يقع $\mathbf{b}$ في فضاء الأعمدة؛ وعندئذ تكون الحلول حلًّا خاصًا زائد أي عنصر من الفضاء الصفري، فالحل وحيد تمامًا حين يكون الفضاء الصفري $\{\mathbf{0}\}$ .

مصفوفة بصف زائدلتكن

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}

. الصف 2 ضعف الصف 1 فلا يستقل منها إلا صفان: الرتبة 2 والصفرية

3-2=1

. وحل

A\mathbf{x}=\mathbf{0}

يعطي

x_1=-x_3

x_2=-x_3

فيتولّد الفضاء الصفري بالمتجه

(1,1,-1)

. عندئذ لا يكون

A\mathbf{x}=\mathbf{b}

قابلًا للحل إلا حين

b_2=2b_1

، وحين يُحَل يكون له عدد لا نهائي من الحلول، أي مستقيم كامل.

فضاء الأعمدة: كل $A\mathbf{x}$ ؛ ويكون $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ قابلًا للحل تمامًا حين ينتمي $\mathbf{b}$ إليه.
الفضاء الصفري: كل $\mathbf{x}$ بحيث $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ؛ وإن ضمّ أكثر من $\mathbf{0}$ فلن تكون الحلول وحيدة أبدًا.
مبرهنة الرتبة والصفرية: الرتبة زائد الصفرية تساوي عدد الأعمدة.

الرتبة في البيانات: أصول زائدةإذا كانت سلسلة عوائد أصل ما تركيبًا تامًا من أصول أخرى (صندوق ETF ومكوناته أو مجموع عائدي قطاعين) فإن مصفوفة البيانات تفقد رتبتها وتصبح تغايرها المشترك شاذًا ولا يكون لانحدار عليها جميعًا حل وحيد. والبيانات الحقيقية نادرًا ما تكون تابعة تمامًا لكنها كثيرًا ما تكون شبه تابعة، وهذا هو سوء الاشتراط في الموضوع السابق.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

الرتبة15 نقطة
الصفرية15 نقطة
متجه من الفضاء الصفري15 نقطة
متى يقبل النظام الحل15 نقطة
كم حلًّا20 نقطة
أصول زائدة20 نقطة

ما تستطيع المصفوفة بلوغه

\operatorname{rank}(A)+\dim\operatorname{null}(A)=n

(1)

مصفوفة بصف زائدلتكن

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}

. الصف 2 ضعف الصف 1 فلا يستقل منها إلا صفان: الرتبة 2 والصفرية

3-2=1

. وحل

A\mathbf{x}=\mathbf{0}

يعطي

x_1=-x_3

x_2=-x_3

فيتولّد الفضاء الصفري بالمتجه

(1,1,-1)

. عندئذ لا يكون

A\mathbf{x}=\mathbf{b}

قابلًا للحل إلا حين

b_2=2b_1

، وحين يُحَل يكون له عدد لا نهائي من الحلول، أي مستقيم كامل.

فضاء الأعمدة: كل $A\mathbf{x}$ ؛ ويكون $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ قابلًا للحل تمامًا حين ينتمي $\mathbf{b}$ إليه.
الفضاء الصفري: كل $\mathbf{x}$ بحيث $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ؛ وإن ضمّ أكثر من $\mathbf{0}$ فلن تكون الحلول وحيدة أبدًا.
مبرهنة الرتبة والصفرية: الرتبة زائد الصفرية تساوي عدد الأعمدة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

الرتبة15 نقطة
الصفرية15 نقطة
متجه من الفضاء الصفري15 نقطة
متى يقبل النظام الحل15 نقطة
كم حلًّا20 نقطة
أصول زائدة20 نقطة

الرتبة والفضاء الصفري

ما تستطيع المصفوفة بلوغه

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

الرتبة والفضاء الصفري

ما تستطيع المصفوفة بلوغه

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.