التعامد والإسقاطات

زوايا قائمة وظلال

يكون متجهان متعامدين حين يكون جداؤهما النقطي صفرًا، $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$: يلتقيان بزاوية قائمة. وطول $\mathbf{u}$ هو $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}$. والتعامد هو ما يجعل الهندسة قابلة للحساب: تصح مبرهنة فيثاغورس، $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2$ حين $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$، وتكون العوائد غير المترابطة متعامدة بعد طرح متوسطاتها.

إسقاط $\mathbf{b}$ على المستقيم المارّ بـ $\mathbf{a}$ هو ظلّه $\mathbf{p}=c\,\mathbf{a}$، أقرب نقطة في المستقيم إلى $\mathbf{b}$. والباقي $\mathbf{b}-\mathbf{p}$ متعامد مع $\mathbf{a}$ وهذا يحدد $c=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$. وتفعل مصفوفة الإسقاط $P$ ذلك لكل $\mathbf{b}$: $\mathbf{p}=P\mathbf{b}$ مع $P^{T}=P$ و$P^2=P$ (الإسقاط مرتين لا يغيّر شيئًا). وقيمها الذاتية 0 و1 فقط.

• متعامدان: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$. متعامدان ومعياريان: متعامدان وطول كلٍّ منهما 1.
• الإسقاط: أقرب نقطة في فضاء جزئي؛ والباقي متعامد مع الفضاء الجزئي.
• أعمدة متعامدة معيارية ($Q^{T}Q=I$): تحفظ الأطوال والزوايا فلا تضخّم الأخطاء أبدًا.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• معامل الإسقاط15 نقطة
• مصفوفة إسقاط20 نقطة
• حجم الباقي15 نقطة
• خصائص مصفوفات الإسقاط15 نقطة
• اكتشف الزوج المتعامد10 نقطة
• المتبقيات والمتغيرات المستقلة25 نقطة