Ortogonalidad y proyecciones

Ángulos rectos y sombras

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero, $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$: forman un ángulo recto. La longitud de $\mathbf{u}$ es $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}$. La ortogonalidad hace calculable la geometría: se cumple Pitágoras, $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2$ cuando $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$, y los rendimientos no correlacionados son ortogonales una vez restadas sus medias.

La proyección de $\mathbf{b}$ sobre la recta que pasa por $\mathbf{a}$ es su sombra $\mathbf{p}=c\,\mathbf{a}$, el punto de la recta más cercano a $\mathbf{b}$. El resto $\mathbf{b}-\mathbf{p}$ es ortogonal a $\mathbf{a}$, lo que fija $c=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$. Una matriz de proyección $P$ hace esto para todo $\mathbf{b}$: $\mathbf{p}=P\mathbf{b}$, con $P^{T}=P$ y $P^2=P$ (proyectar dos veces no cambia nada). Sus valores propios son solo 0 y 1.

• Ortogonales: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$. Ortonormales: ortogonales y de longitud 1.
• Proyección: el punto de un subespacio más cercano; el resto es ortogonal al subespacio.
• Columnas ortonormales ($Q^{T}Q=I$): conservan longitudes y ángulos, así que nunca amplifican errores.

Lab: qué se califica

• El coeficiente de proyección15 pts
• Una matriz de proyección20 pts
• El tamaño del resto15 pts
• Propiedades de las matrices de proyección15 pts
• Detectar el par ortogonal10 pts
• Residuos y regresores25 pts