Ortogonalidade e projeções

Ângulos retos e sombras

Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é zero, $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$: formam um ângulo reto. O comprimento de $\mathbf{u}$ é $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}$. A ortogonalidade torna a geometria calculável: vale Pitágoras, $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2$ quando $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$, e retornos não correlacionados são ortogonais depois de retiradas as médias.

A projeção de $\mathbf{b}$ sobre a reta que passa por $\mathbf{a}$ é a sua sombra $\mathbf{p}=c\,\mathbf{a}$, o ponto da reta mais próximo de $\mathbf{b}$. O restante $\mathbf{b}-\mathbf{p}$ é ortogonal a $\mathbf{a}$, o que fixa $c=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$. Uma matriz de projeção $P$ faz isso para todo $\mathbf{b}$: $\mathbf{p}=P\mathbf{b}$, com $P^{T}=P$ e $P^2=P$ (projetar duas vezes não muda nada). Seus autovalores são apenas 0 e 1.

• Ortogonais: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$. Ortonormais: ortogonais e de comprimento 1.
• Projeção: o ponto de um subespaço mais próximo; o restante é ortogonal ao subespaço.
• Colunas ortonormais ($Q^{T}Q=I$): preservam comprimentos e ângulos, então nunca amplificam erros.

Lab: o que é avaliado

• O coeficiente de projeção15 pts
• Uma matriz de projeção20 pts
• O tamanho do restante15 pts
• Propriedades das matrizes de projeção15 pts
• Identificar o par ortogonal10 pts
• Resíduos e regressores25 pts