Orthogonalität und Projektionen

Rechte Winkel und Schatten

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$: Sie stehen im rechten Winkel zueinander. Die Länge von $\mathbf{u}$ ist $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}$. Orthogonalität macht Geometrie berechenbar: Es gilt Pythagoras, $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2$ für $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$, und unkorrelierte Renditen sind nach Abzug der Mittelwerte orthogonal.

Die Projektion von $\mathbf{b}$ auf die Gerade durch $\mathbf{a}$ ist sein Schatten $\mathbf{p}=c\,\mathbf{a}$, der Punkt der Geraden, der $\mathbf{b}$ am nächsten liegt. Der Rest $\mathbf{b}-\mathbf{p}$ steht senkrecht auf $\mathbf{a}$, was $c=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$ festlegt. Eine Projektionsmatrix $P$ leistet das für jedes $\mathbf{b}$: $\mathbf{p}=P\mathbf{b}$, mit $P^{T}=P$ und $P^2=P$ (zweimal projizieren ändert nichts). Ihre Eigenwerte sind nur 0 und 1.

• Orthogonal: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$. Orthonormal: orthogonal und jeweils Länge 1.
• Projektion: der nächstgelegene Punkt eines Unterraums; der Rest steht senkrecht auf dem Unterraum.
• Orthonormale Spalten ($Q^{T}Q=I$) erhalten Längen und Winkel und verstärken Fehler daher nie.

Lab: Was bewertet wird

• Der Projektionskoeffizient15 Pkt.
• Eine Projektionsmatrix20 Pkt.
• Die Größe des Rests15 Pkt.
• Eigenschaften von Projektionsmatrizen15 Pkt.
• Das orthogonale Paar erkennen10 Pkt.
• Residuen und Regressoren25 Pkt.