Orthogonalité et projections

Angles droits et ombres

Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul, $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$ : ils forment un angle droit. La longueur de $\mathbf{u}$ est $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}$. L'orthogonalité rend la géométrie calculable : Pythagore s'applique, $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2$ quand $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$, et des rendements non corrélés sont orthogonaux une fois leurs moyennes retirées.

La projection de $\mathbf{b}$ sur la droite portée par $\mathbf{a}$ est son ombre $\mathbf{p}=c\,\mathbf{a}$, le point de la droite le plus proche de $\mathbf{b}$. Le reste $\mathbf{b}-\mathbf{p}$ est orthogonal à $\mathbf{a}$, ce qui fixe $c=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$. Une matrice de projection $P$ fait cela pour tout $\mathbf{b}$ : $\mathbf{p}=P\mathbf{b}$, avec $P^{T}=P$ et $P^2=P$ (projeter deux fois ne change rien). Ses valeurs propres sont seulement 0 et 1.

• Orthogonaux : $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$. Orthonormés : orthogonaux et de longueur 1.
• Projection : le point d'un sous-espace le plus proche ; le reste est orthogonal au sous-espace.
• Colonnes orthonormées ($Q^{T}Q=I$) : elles conservent longueurs et angles, donc n'amplifient jamais les erreurs.

Lab : ce qui est noté

• Le coefficient de projection15 pts
• Une matrice de projection20 pts
• La taille du reste15 pts
• Propriétés des matrices de projection15 pts
• Repérer la paire orthogonale10 pts
• Résidus et régresseurs25 pts