المعكوس وسوء الاشتراط

التراجع عن تحويل

للمصفوفة المربعة $A$ معكوس $A^{-1}$ حيث $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ تمامًا حين لا يفقد تحويلها أي معلومة: مدخلات مختلفة تعطي مخرجات مختلفة. ويقيس المحدّد كيف تغيّر $A$ الأحجام (بإشارة للانعكاسات) فتكون $A$ قابلة للقلب تمامًا حين $\det A\neq0$ . ولمصفوفة $2\times2$ يكون $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ . وقواعد مفيدة: $\det(AB)=\det A\,\det B$ و $\det(A^{-1})=1/\det A$ .

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

قابلية القلب لا تعني الأمان. يبيّن رقم الاشتراط $\kappa(A)$ مقدار تضخّم خطأ نسبي صغير في $\mathbf{b}$ (أو في عناصر $A$ ) داخل الحل $\mathbf{x}$ . قاعدة تقريبية: تخسر نحو $\log_{10}\kappa$ من أرقامك الستة عشر تقريبًا في الدقة المضاعفة. والمحدّد الصغير وحده لا يثبت شيئًا لأنه يتبع المقياس: لـ $0.001\,I$ محدّد ضئيل لكن $\kappa=1$ . أما الأعمدة شبه المتوازية فهي ما يجعل $\kappa$ هائلًا.

معكوس وحالة شبه فاشلةلـ

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

\det A=24-14=10

فيكون

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

. قارن الآن

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1.0001\end{pmatrix}

: عمودا هذه المصفوفة متقاربان جدًا و

\det B=0.0001

\kappa(B)

نحو

4\times10^{4}

، فقد يتحول خطأ نسبي مقداره

10^{-6}

في البيانات إلى خطأ نحو

4\,\%

في الحل.

قابلة للقلب: مربعة مع $\det A\neq0$ ؛ لا تُفقد أي معلومة.
رقم الاشتراط: مقدار تضخّم أخطاء البيانات؛ والكبير يعني حلًّا هشًّا.
لا تكوّن $A^{-1}$ أبدًا لأجل الحل: الحل بالتحليل أسرع وأدق.

الأصول المتوازية تُفسد مصفوفات التباين المشتركصندوقا ETF يتبعان المؤشر نفسه تقريبًا يعطيان مصفوفة تباين مشترك صفوفها متقاربة جدًا. ورقم اشتراطها

\kappa

هائل، فيتأرجح مُحسِّن التباين الأدنى المبني على معكوسها بشدة مع أدنى تغيير في البيانات. افحص

\kappa

(أو احذف أو ادمج المتكررات شبه المطابقة) قبل أن تثق بالأوزان.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

معكوس مصفوفة 2 في 220 نقطة
محدّد 3 في 310 نقطة
اعثر على المصفوفة الشاذة15 نقطة
الأرقام الموثوقة15 نقطة
ممارسات عددية جيدة15 نقطة
قواعد المحدّد10 نقطة
لماذا لا نقلب15 نقطة

التراجع عن تحويل

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

معكوس وحالة شبه فاشلةلـ

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

\det A=24-14=10

فيكون

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

. قارن الآن

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1.0001\end{pmatrix}

: عمودا هذه المصفوفة متقاربان جدًا و

\det B=0.0001

\kappa(B)

نحو

4\times10^{4}

، فقد يتحول خطأ نسبي مقداره

10^{-6}

في البيانات إلى خطأ نحو

4\,\%

في الحل.

قابلة للقلب: مربعة مع $\det A\neq0$ ؛ لا تُفقد أي معلومة.
رقم الاشتراط: مقدار تضخّم أخطاء البيانات؛ والكبير يعني حلًّا هشًّا.
لا تكوّن $A^{-1}$ أبدًا لأجل الحل: الحل بالتحليل أسرع وأدق.

\kappa

هائل، فيتأرجح مُحسِّن التباين الأدنى المبني على معكوسها بشدة مع أدنى تغيير في البيانات. افحص

\kappa

(أو احذف أو ادمج المتكررات شبه المطابقة) قبل أن تثق بالأوزان.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

معكوس مصفوفة 2 في 220 نقطة
محدّد 3 في 310 نقطة
اعثر على المصفوفة الشاذة15 نقطة
الأرقام الموثوقة15 نقطة
ممارسات عددية جيدة15 نقطة
قواعد المحدّد10 نقطة
لماذا لا نقلب15 نقطة

المعكوس وسوء الاشتراط

التراجع عن تحويل

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

المعكوس وسوء الاشتراط

التراجع عن تحويل

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.