逆行列と条件数

写像を元に戻す

正方行列 $A$ に逆行列 $A^{-1}$（$A^{-1}A=AA^{-1}=I$）があるのは、その写像が情報を失わないとき、つまり異なる入力が異なる出力になるときに限ります。行列式は $A$ が体積を何倍にするかを（反転は符号で）表すので、$A$ が可逆なのは $\det A\neq0$ のときに限ります。$2\times2$ では $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$。便利な規則は $\det(AB)=\det A\,\det B$ と $\det(A^{-1})=1/\det A$ です。

可逆であることは安全であることではありません。条件数 $\kappa(A)$ は、$\mathbf{b}$（や $A$ の成分）の小さな相対誤差が解 $\mathbf{x}$ でどれだけ拡大されうるかを表します。目安として、倍精度のおよそ16桁のうち約 $\log_{10}\kappa$ 桁を失います。行列式が小さいだけでは何も言えません。スケールに依存するからで、$0.001\,I$ は行列式が極小でも $\kappa=1$ です。$\kappa$ を巨大にするのは、ほぼ共線な列です。

• 可逆：$\det A\neq0$ の正方行列。情報は失われない。
• 条件数：データの誤差がどれだけ拡大されるか。大きいと解が不安定。
• 解くために $A^{-1}$ を作らない：分解で解くほうが速く正確。

ラボ：採点される内容

• 2×2行列の逆行列20点
• 3×3の行列式10点
• 特異な行列を見つける15点
• 信頼できる桁数15点
• 数値計算の良い習慣15点
• 行列式の規則10点
• なぜ逆行列を作らないか15点