LU分解

$A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ とします。上三角行列 $U$ を埋めてください。

行列 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{pmatrix}$ は入れ替えなしで $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{pmatrix}$、$U=\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$ に分解されます。$\det A$ を求めてください。

$A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ とします。$L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ と $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ を使って $A\mathbf{x}=(5,13)$ を解いてください。$x_1$ はいくつですか。

$\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ に行の入れ替えなしの単純な消去を行うと、何が問題になりますか。

ピボット選択付きLUで $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ を解く手順を正しい順に並べてください。

同じ $A$ で 1000 通りの $\mathbf{b}$ に対して $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ を解く必要があります。LU分解がどう役立つかを2文で述べてください。