LU 分解

路线进度模块 2/4 · 主题 2/3

2.2 LU 分解

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

把消元过程记下来

高斯消元法通过把某一行的倍数从下面各行中减去，直到矩阵变成上三角矩阵 $U$ ，来解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 。所用的倍数值得保留：把它们放在对角线为 1 的下三角矩阵 $L$ 的对角线下方，就得到 $A=LU$ 。这个分解记录了整个消元过程，所以工作只做一次就能反复使用。

A=LU,\qquad L\mathbf{y}=\mathbf{b},\qquad U\mathbf{x}=\mathbf{y}

(1)

求解时先用前代法（自上而下）解 $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ ，再用回代法（自下而上）解 $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 。每步约需 $n^2$ 次运算，而分解本身约需 $\tfrac{2}{3}n^3$ 次。若有很多个右端项（同一矩阵上的多个情景），只需分解一次，每个情景只花 $n^2$ 。

手算 LU取

A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}

。倍数为

4/2=2

：第 2 行减去第 1 行的 2 倍，得

U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}

，

L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

。验证：

LU=\begin{pmatrix}2&1\\4&2+3\end{pmatrix}=A

。解

A\mathbf{x}=(3,9)

：由

L\mathbf{y}=\mathbf{b}

得

y_1=3

，

y_2=9-2\cdot3=3

；再由

U\mathbf{x}=\mathbf{y}

得

x_2=1

，

2x_1+1=3

，所以

\mathbf{x}=(1,1)

。

$L$ ：下三角矩阵，对角线为 1，其下是消元倍数。
$U$ ：上三角矩阵，消元的结果；对角线上是主元。
选主元：交换行使主元较大，得到 $PA=LU$ ，其中 $P$ 是置换矩阵。

零或极小的主元需要换行对

\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}

，第一个主元是 0，简单消元会除以零，但这个矩阵其实完全可逆。交换两行即可解决。主元若是极小而非零，不会崩溃，但会产生巨大的倍数并毁掉精度，所以实际的库总会选主元。

实验：评分内容

矩阵 L15 分
矩阵 U15 分
由 U 求行列式15 分
用 L 和 U 求解15 分
为什么要选主元15 分
LU 求解的步骤10 分
为什么只分解一次15 分

0/ 已答 7 题

1矩阵 · 向量15 分未作答

设 $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ 。在不换行的 $A=LU$ 中，填写下三角因子 $L$ （对角线为 1）。

L =

2矩阵 · 向量15 分未作答

设 $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ 。填写上三角因子 $U$ 。

U =

3数值作答15 分未作答

矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{pmatrix}$ 无需换行即可分解为 $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{pmatrix}$ ， $U=\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$ 。求 $\det A$ 。

\det A =

允许误差:± 0.001

4数值作答15 分未作答

设 $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ 。用 $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ 和 $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ 解 $A\mathbf{x}=(5,13)$ 。 $x_1$ 是多少？

x_1 =

允许误差:± 0.001

5选择15 分未作答

对 $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ 不换行直接做简单消元，会出什么问题？

6排列步骤10 分未作答

把用带选主元的 LU 解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的步骤按顺序排好。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1前代：解 $L\mathbf{y}=P\mathbf{b}$
2分解 $PA=LU$
3回代：解 $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$
4把换行作用到右端项上： $P\mathbf{b}$

7用文字解释15 分未作答

你要用同一个 $A$ 对 1000 个不同的 $\mathbf{b}$ 解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 。请用两句话说明 LU 分解有什么帮助。

评分依据:矩阵只分解一次，因子重复使用每多一个右端项只需两次便宜的三角求解，约 n 的平方0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

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2.2 LU 分解

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

把消元过程记下来

A=LU,\qquad L\mathbf{y}=\mathbf{b},\qquad U\mathbf{x}=\mathbf{y}

(1)

手算 LU取

A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}

。倍数为

4/2=2

：第 2 行减去第 1 行的 2 倍，得

U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}

，

L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

。验证：

LU=\begin{pmatrix}2&1\\4&2+3\end{pmatrix}=A

。解

A\mathbf{x}=(3,9)

：由

L\mathbf{y}=\mathbf{b}

得

y_1=3

，

y_2=9-2\cdot3=3

；再由

U\mathbf{x}=\mathbf{y}

得

x_2=1

，

2x_1+1=3

，所以

\mathbf{x}=(1,1)

。

$L$ ：下三角矩阵，对角线为 1，其下是消元倍数。
$U$ ：上三角矩阵，消元的结果；对角线上是主元。
选主元：交换行使主元较大，得到 $PA=LU$ ，其中 $P$ 是置换矩阵。

零或极小的主元需要换行对

\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}

实验：评分内容

矩阵 L15 分
矩阵 U15 分
由 U 求行列式15 分
用 L 和 U 求解15 分
为什么要选主元15 分
LU 求解的步骤10 分
为什么只分解一次15 分

0/ 已答 7 题

1矩阵 · 向量15 分未作答

设 $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ 。在不换行的 $A=LU$ 中，填写下三角因子 $L$ （对角线为 1）。

L =

2矩阵 · 向量15 分未作答

设 $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ 。填写上三角因子 $U$ 。

U =

3数值作答15 分未作答

\det A =

允许误差:± 0.001

4数值作答15 分未作答

设 $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ 。用 $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ 和 $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ 解 $A\mathbf{x}=(5,13)$ 。 $x_1$ 是多少？

x_1 =

允许误差:± 0.001

5选择15 分未作答

对 $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ 不换行直接做简单消元，会出什么问题？

6排列步骤10 分未作答

把用带选主元的 LU 解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的步骤按顺序排好。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1前代：解 $L\mathbf{y}=P\mathbf{b}$
2分解 $PA=LU$
3回代：解 $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$
4把换行作用到右端项上： $P\mathbf{b}$

7用文字解释15 分未作答

你要用同一个 $A$ 对 1000 个不同的 $\mathbf{b}$ 解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 。请用两句话说明 LU 分解有什么帮助。

评分依据:矩阵只分解一次，因子重复使用每多一个右端项只需两次便宜的三角求解，约 n 的平方0 / 400 字

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实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。

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