تحليل LU

الموضع في المسارالوحدة 2 من 4 · الموضوع 2 من 3

2.2 تحليل LU

—درجة المختبر— / 100إجمالي XP—التتابع—

الحذف محفوظًا

يحل حذف غاوس المعادلة $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ بطرح مضاعفات صف من الصفوف التي تحته حتى تصبح المصفوفة مثلثية عليا $U$ . والمضاعِفات التي استعملتها تستحق الحفظ: ضعها تحت قطر مصفوفة مثلثية سفلى $L$ قطرها آحاد فيكون $A=LU$ . يسجّل هذا التحليل عملية الحذف كلها، فيُنجَز العمل مرة واحدة ويُعاد استخدامه.

A=LU,\qquad L\mathbf{y}=\mathbf{b},\qquad U\mathbf{x}=\mathbf{y}

(1)

للحل نحل أولًا $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ بالتعويض الأمامي (من الأعلى إلى الأسفل) ثم $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$ بالتعويض الخلفي (من الأسفل إلى الأعلى). وكلٌّ منهما يكلّف نحو $n^2$ عملية، أما التحليل فيكلّف نحو $\tfrac{2}{3}n^3$ . ومع كثرة الطرف الأيمن (سيناريوهات كثيرة على المصفوفة نفسها) تحلّل مرة واحدة وتدفع $n^2$ فقط لكل سيناريو.

تحليل LU يدويًالتكن

A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}

. المضاعِف هو

4/2=2

: اطرح ضعف الصف 1 من الصف 2 فتحصل على

U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}

L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

. تحقّق:

LU=\begin{pmatrix}2&1\\4&2+3\end{pmatrix}=A

. لنحل

A\mathbf{x}=(3,9)

L\mathbf{y}=\mathbf{b}

يعطي

y_1=3

y_2=9-2\cdot3=3

؛ ثم

U\mathbf{x}=\mathbf{y}

يعطي

x_2=1

2x_1+1=3

فيكون

\mathbf{x}=(1,1)

$L$ : مثلثية سفلى، آحاد على القطر، ومضاعِفات الحذف تحته.
$U$ : مثلثية عليا ناتج الحذف؛ قطرها يضم المحاور.
التمحور: بدّل الصفوف ليكون المحور كبيرًا فيُنتج $PA=LU$ بمصفوفة تبديل $P$ .

المحور الصفري أو الضئيل يحتاج إلى تبديل صفوففي

\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}

المحور الأول 0 فيقسم الحذف البسيط على صفر مع أن المصفوفة قابلة للقلب تمامًا. وتبديل الصفين يحل المشكلة. أما المحور الضئيل (لا الصفري) فلا يسبب انهيارًا لكنه ينتج مضاعِفات ضخمة ويفسد الدقة، لذلك تستعمل المكتبات الحقيقية التمحور دائمًا.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

المصفوفة L15 نقطة
المصفوفة U15 نقطة
محدّد من U15 نقطة
الحل بـ L وU15 نقطة
لماذا التمحور15 نقطة
خطوات حل LU10 نقطة
لماذا التحليل مرة واحدة15 نقطة

0/ 7 تمت الإجابة

1مصفوفة · متجه15 نقطةبلا إجابة

لتكن $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . املأ العامل المثلثي السفلي $L$ (آحاد على القطر) في $A=LU$ دون تبديل صفوف.

L =

2مصفوفة · متجه15 نقطةبلا إجابة

لتكن $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . املأ العامل المثلثي العلوي $U$ .

U =

3إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

تتحلل المصفوفة $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{pmatrix}$ دون تبديل إلى $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{pmatrix}$ و $U=\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$ . أوجد $\det A$ .

\det A =

المقبول: ± 0.001

4إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

لتكن $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . استخدم $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ و $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ لحل $A\mathbf{x}=(5,13)$ . ما قيمة $x_1$ ؟

x_1 =

المقبول: ± 0.001

5اختيار15 نقطةبلا إجابة

ما الذي يحدث إذا طبّقت الحذف البسيط دون تبديل صفوف على $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ ؟

6رتّب الخطوات10 نقطةبلا إجابة

رتّب خطوات حل $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ بتحليل LU مع التمحور.

اسحب لإعادة الترتيب، أو ركّز على عنصر واضغط مسافة لرفعه والأسهم لتحريكه ومسافة لإفلاته.

1التعويض الأمامي: حل $L\mathbf{y}=P\mathbf{b}$
2تحليل $PA=LU$
3التعويض الخلفي: حل $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$
4تطبيق تبديلات الصفوف على الطرف الأيمن: $P\mathbf{b}$

7اشرح بكلماتك15 نقطةبلا إجابة

عليك حل $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ لألف متجه $\mathbf{b}$ مختلف بالمصفوفة $A$ نفسها. في جملتين بيّن كيف يفيد تحليل LU.

يُقيَّم على:تُحلَّل المصفوفة مرة واحدة فقط وتُعاد العواملكل طرف أيمن إضافي يكلّف حلّين مثلثيين رخيصين فقط، نحو n تربيع0 / 400 حرف

وضع الرياضياتإدخال بلوحة المفاتيح أو LaTeXالمهمة 1 من 7 · Ctrl ⏎ للتحقق

تحليل LU

الموضع في المسارالوحدة 2 من 4 · الموضوع 2 من 3

2.2 تحليل LU

—درجة المختبر— / 100إجمالي XP—التتابع—

الحذف محفوظًا

A=LU,\qquad L\mathbf{y}=\mathbf{b},\qquad U\mathbf{x}=\mathbf{y}

(1)

تحليل LU يدويًالتكن

A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}

. المضاعِف هو

4/2=2

: اطرح ضعف الصف 1 من الصف 2 فتحصل على

U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}

L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

. تحقّق:

LU=\begin{pmatrix}2&1\\4&2+3\end{pmatrix}=A

. لنحل

A\mathbf{x}=(3,9)

L\mathbf{y}=\mathbf{b}

يعطي

y_1=3

y_2=9-2\cdot3=3

؛ ثم

U\mathbf{x}=\mathbf{y}

يعطي

x_2=1

2x_1+1=3

فيكون

\mathbf{x}=(1,1)

$L$ : مثلثية سفلى، آحاد على القطر، ومضاعِفات الحذف تحته.
$U$ : مثلثية عليا ناتج الحذف؛ قطرها يضم المحاور.
التمحور: بدّل الصفوف ليكون المحور كبيرًا فيُنتج $PA=LU$ بمصفوفة تبديل $P$ .

المحور الصفري أو الضئيل يحتاج إلى تبديل صفوففي

\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}

المختبر: ما الذي يُقيَّم

المصفوفة L15 نقطة
المصفوفة U15 نقطة
محدّد من U15 نقطة
الحل بـ L وU15 نقطة
لماذا التمحور15 نقطة
خطوات حل LU10 نقطة
لماذا التحليل مرة واحدة15 نقطة

0/ 7 تمت الإجابة

1مصفوفة · متجه15 نقطةبلا إجابة

لتكن $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . املأ العامل المثلثي السفلي $L$ (آحاد على القطر) في $A=LU$ دون تبديل صفوف.

L =

2مصفوفة · متجه15 نقطةبلا إجابة

لتكن $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . املأ العامل المثلثي العلوي $U$ .

U =

3إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

\det A =

المقبول: ± 0.001

4إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

x_1 =

المقبول: ± 0.001

5اختيار15 نقطةبلا إجابة

ما الذي يحدث إذا طبّقت الحذف البسيط دون تبديل صفوف على $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ ؟

6رتّب الخطوات10 نقطةبلا إجابة

رتّب خطوات حل $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ بتحليل LU مع التمحور.

اسحب لإعادة الترتيب، أو ركّز على عنصر واضغط مسافة لرفعه والأسهم لتحريكه ومسافة لإفلاته.

1التعويض الأمامي: حل $L\mathbf{y}=P\mathbf{b}$
2تحليل $PA=LU$
3التعويض الخلفي: حل $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$
4تطبيق تبديلات الصفوف على الطرف الأيمن: $P\mathbf{b}$

7اشرح بكلماتك15 نقطةبلا إجابة

عليك حل $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ لألف متجه $\mathbf{b}$ مختلف بالمصفوفة $A$ نفسها. في جملتين بيّن كيف يفيد تحليل LU.

وضع الرياضياتإدخال بلوحة المفاتيح أو LaTeXالمهمة 1 من 7 · Ctrl ⏎ للتحقق

تحليل LU

الحذف محفوظًا

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

تحليل LU

الحذف محفوظًا

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.