Descomposición LU

Posición en la rutaMódulo 2 de 4 · Tema 2 de 3

2.2 Descomposición LU

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

La eliminación, recordada

La eliminación de Gauss resuelve $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ restando múltiplos de una fila a las filas inferiores hasta obtener una matriz triangular superior $U$ . Los multiplicadores usados conviene guardarlos: colocados bajo la diagonal de una matriz triangular inferior $L$ con unos en la diagonal, dan $A=LU$ . La descomposición registra toda la eliminación, así que el trabajo se hace una vez y se reutiliza.

A=LU,\qquad L\mathbf{y}=\mathbf{b},\qquad U\mathbf{x}=\mathbf{y}

(1)

Para resolver, primero $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ por sustitución hacia delante (de arriba abajo) y luego $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$ por sustitución hacia atrás (de abajo arriba). Cada una cuesta unas $n^2$ operaciones, mientras que la factorización cuesta unas $\tfrac{2}{3}n^3$ . Con muchos lados derechos (muchos escenarios sobre la misma matriz) se factoriza una vez y solo se paga $n^2$ por escenario.

Una LU a manoSea

A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}

. El multiplicador es

4/2=2

: reste 2 veces la fila 1 de la fila 2 para obtener

U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}

, y

L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

. Comprobación:

LU=\begin{pmatrix}2&1\\4&2+3\end{pmatrix}=A

. Resolvamos

A\mathbf{x}=(3,9)

L\mathbf{y}=\mathbf{b}

y_1=3

y_2=9-2\cdot3=3

; luego

U\mathbf{x}=\mathbf{y}

x_2=1

2x_1+1=3

, así que

\mathbf{x}=(1,1)

$L$ : triangular inferior, unos en la diagonal, los multiplicadores de eliminación debajo.
$U$ : triangular superior, resultado de la eliminación; su diagonal contiene los pivotes.
Pivoteo: intercambie filas para que el pivote sea grande, lo que da $PA=LU$ con una matriz de permutación $P$ .

Un pivote nulo o diminuto exige un intercambio de filasPara

\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}

el primer pivote es 0 y la eliminación simple divide por cero, aunque la matriz es perfectamente invertible. Intercambiar las filas lo arregla. Un pivote diminuto, en lugar de nulo, no falla pero produce multiplicadores enormes y arruina la precisión, por eso las bibliotecas reales siempre pivotean.

Lab: qué se califica

La matriz L15 pts
La matriz U15 pts
Un determinante a partir de U15 pts
Resolver con L y U15 pts
Por qué pivotear15 pts
Los pasos de una resolución LU10 pts
Por qué factorizar una vez15 pts

0/ 7 respondidos

1Matriz · vector15 ptsSin responder

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . Complete el factor triangular inferior $L$ (unos en la diagonal) de $A=LU$ sin intercambios de filas.

L =

2Matriz · vector15 ptsSin responder

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . Complete el factor triangular superior $U$ .

U =

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

La matriz $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{pmatrix}$ se factoriza sin intercambios como $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{pmatrix}$ , $U=\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$ . Halle $\det A$ .

\det A =

aceptado: ± 0.001

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . Use $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ y $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ para resolver $A\mathbf{x}=(5,13)$ . ¿Cuánto vale $x_1$ ?

x_1 =

aceptado: ± 0.001

5Elección15 ptsSin responder

¿Qué falla si se aplica la eliminación simple, sin intercambios de filas, a $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ ?

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga en orden los pasos para resolver $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ con una LU con pivoteo.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Sustitución hacia delante: resolver $L\mathbf{y}=P\mathbf{b}$
2Factorizar $PA=LU$
3Sustitución hacia atrás: resolver $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$
4Aplicar los intercambios de filas al lado derecho: $P\mathbf{b}$

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

Debe resolver $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ para 1000 vectores $\mathbf{b}$ distintos con la misma $A$ . En dos frases, diga cómo ayuda la LU.

Se califica por:La matriz se factoriza una sola vez y los factores se reutilizanCada lado derecho adicional cuesta solo dos resoluciones triangulares baratas, de unos n al cuadrado0 / 400 caracteres

Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 7 · Ctrl ⏎ para comprobar

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—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

La eliminación, recordada

A=LU,\qquad L\mathbf{y}=\mathbf{b},\qquad U\mathbf{x}=\mathbf{y}

(1)

Una LU a manoSea

A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}

. El multiplicador es

4/2=2

: reste 2 veces la fila 1 de la fila 2 para obtener

U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}

, y

L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

. Comprobación:

LU=\begin{pmatrix}2&1\\4&2+3\end{pmatrix}=A

. Resolvamos

A\mathbf{x}=(3,9)

L\mathbf{y}=\mathbf{b}

y_1=3

y_2=9-2\cdot3=3

; luego

U\mathbf{x}=\mathbf{y}

x_2=1

2x_1+1=3

, así que

\mathbf{x}=(1,1)

$L$ : triangular inferior, unos en la diagonal, los multiplicadores de eliminación debajo.
$U$ : triangular superior, resultado de la eliminación; su diagonal contiene los pivotes.
Pivoteo: intercambie filas para que el pivote sea grande, lo que da $PA=LU$ con una matriz de permutación $P$ .

Un pivote nulo o diminuto exige un intercambio de filasPara

\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}

Lab: qué se califica

La matriz L15 pts
La matriz U15 pts
Un determinante a partir de U15 pts
Resolver con L y U15 pts
Por qué pivotear15 pts
Los pasos de una resolución LU10 pts
Por qué factorizar una vez15 pts

0/ 7 respondidos

1Matriz · vector15 ptsSin responder

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . Complete el factor triangular inferior $L$ (unos en la diagonal) de $A=LU$ sin intercambios de filas.

L =

2Matriz · vector15 ptsSin responder

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . Complete el factor triangular superior $U$ .

U =

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

\det A =

aceptado: ± 0.001

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&5\end{pmatrix}$ . Use $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ y $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ para resolver $A\mathbf{x}=(5,13)$ . ¿Cuánto vale $x_1$ ?

x_1 =

aceptado: ± 0.001

5Elección15 ptsSin responder

¿Qué falla si se aplica la eliminación simple, sin intercambios de filas, a $\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ ?

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga en orden los pasos para resolver $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ con una LU con pivoteo.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Sustitución hacia delante: resolver $L\mathbf{y}=P\mathbf{b}$
2Factorizar $PA=LU$
3Sustitución hacia atrás: resolver $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$
4Aplicar los intercambios de filas al lado derecho: $P\mathbf{b}$

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

Debe resolver $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ para 1000 vectores $\mathbf{b}$ distintos con la misma $A$ . En dos frases, diga cómo ayuda la LU.

Se califica por:La matriz se factoriza una sola vez y los factores se reutilizanCada lado derecho adicional cuesta solo dos resoluciones triangulares baratas, de unos n al cuadrado0 / 400 caracteres

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