Raízes unitárias e o teste ADF

Existe uma raiz unitária?

Na autorregressão $x_t=\varphi x_{t-1}+\varepsilon_t$ o coeficiente $\varphi$ decide o comportamento. Com $|\varphi|<1$ a série é estacionária e puxada de volta à média. Com $\varphi=1$ tem raiz unitária: é um passeio aleatório, os choques nunca se dissipam e a melhor previsão é o último valor. A questão importa para o trading, pois uma estratégia de reversão à média precisa do primeiro caso e uma de tendência convive com o segundo. O teste de Dickey-Fuller reescreve o modelo como $\Delta x_t=\gamma x_{t-1}+\varepsilon_t$ com $\gamma=\varphi-1$ e testa a nula $\gamma=0$ (raiz unitária) contra $\gamma<0$ (estacionária).

A versão aumentada (ADF) acrescenta diferenças defasadas $\Delta x_{t-i}$ para que os resíduos não tenham autocorrelação. A estatística é a razão $t$ habitual de $\hat\gamma$, mas sob a nula não segue a t de Student. Segue a distribuição de Dickey-Fuller, cujos valores críticos são mais negativos: cerca de $-2{,}86$ a 5 % com constante e cerca de $-3{,}41$ com constante e tendência. Só se rejeita a raiz unitária quando a estatística fica abaixo do valor crítico. Não rejeitar é evidência fraca: o teste tem pouco poder quando $\varphi$ está perto de um ou a amostra é curta, e uma série estacionária porém persistente é muitas vezes confundida com um passeio aleatório. Num AR(1) estacionário, a meia-vida de um choque é $\ln(1/2)/\ln\varphi$.

• Nula do ADF: uma raiz unitária. Só se rejeita quando a estatística fica abaixo do valor crítico de Dickey-Fuller.
• Pouco poder: uma série estacionária persistente muitas vezes não rejeita, então não rejeitar não é prova.
• Meia-vida de um choque num AR(1) estacionário: $\ln(1/2)/\ln\varphi$.

Lab: o que é avaliado

• O coeficiente de Dickey-Fuller15 pts
• Uma meia-vida15 pts
• A estatística de teste15 pts
• Rejeitar ou não15 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Fazer um teste de raiz unitária10 pts
• Não rejeitar não é provar15 pts