Modelos AR MA e ARMA

Os blocos da média

Uma autorregressão de ordem $p$, AR($p$), explica um valor pelo seu próprio passado: $x_t=c+\varphi_1x_{t-1}+\dots+\varphi_px_{t-p}+\varepsilon_t$. É estacionária quando os coeficientes a impedem de explodir, o que num AR(1) significa $|\varphi|<1$, e sua média é $\mu=c/(1-\sum\varphi_i)$. Uma média móvel de ordem $q$, MA($q$), explica um valor por choques passados: $x_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$. É sempre estacionária e sua memória dura exatamente $q$ passos. Combinar as duas dá ARMA($p,q$), que muitas vezes descreve uma série com menos parâmetros que um AR ou MA puros.

Os parâmetros são estimados por máxima verossimilhança. As ordens se escolhem comparando critérios de informação, o AIC $=2k-2\ln L$ e o BIC $=k\ln T-2\ln L$, em que $k$ é o número de parâmetros e $L$ a verossimilhança: menor é melhor, e a penalidade sobre $k$ evita acrescentar termos que só ajustam ruído. O BIC penaliza mais quando $T>7$ e por isso escolhe modelos menores. Depois do ajuste, os resíduos devem parecer ruído branco, o que o teste de Ljung-Box verifica. A previsão de um AR(1) estacionário volta à média geometricamente, $\hat x_{T+h}=\mu+\varphi^{h}(x_T-\mu)$, e a de um MA($q$) iguala a média a partir de $q+1$ passos. Previsões distantes de qualquer ARMA estacionário são simplesmente a média: esses modelos servem para os próximos passos e não superam a média depois.

• AR($p$) depende de seus próprios valores passados; MA($q$) dos últimos $q$ choques; ARMA de ambos.
• AIC e BIC premiam o ajuste e punem os parâmetros; ganha o modelo de menor valor, e o BIC é mais estrito.
• As previsões de um ARMA estacionário convergem para a média conforme o horizonte cresce.

Lab: o que é avaliado

• A média de um AR(1)15 pts
• Uma previsão a dois passos15 pts
• Uma autocorrelação de MA(1)15 pts
• Um critério de informação15 pts
• Um coeficiente não estacionário15 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Por que as previsões distantes chegam à média10 pts