Modelos AR MA y ARMA

Los bloques de la media

Una autorregresión de orden $p$, AR($p$), explica un valor por su propio pasado: $x_t=c+\varphi_1x_{t-1}+\dots+\varphi_px_{t-p}+\varepsilon_t$. Es estacionaria cuando sus coeficientes impiden que explote, lo que en un AR(1) significa $|\varphi|<1$, y su media es $\mu=c/(1-\sum\varphi_i)$. Una media móvil de orden $q$, MA($q$), explica un valor por choques pasados: $x_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$. Siempre es estacionaria y su memoria dura exactamente $q$ pasos. Combinar ambas da ARMA($p,q$), que a menudo describe una serie con menos parámetros que un AR o un MA puros.

Los parámetros se estiman por máxima verosimilitud. Los órdenes se eligen comparando criterios de información, el AIC $=2k-2\ln L$ y el BIC $=k\ln T-2\ln L$, donde $k$ es el número de parámetros y $L$ la verosimilitud: menor es mejor, y la penalización sobre $k$ evita añadir términos que solo ajustan ruido. El BIC penaliza más cuando $T>7$ y por eso elige modelos menores. Tras el ajuste, los residuos deben parecer ruido blanco, lo que comprueba la prueba de Ljung-Box. El pronóstico de un AR(1) estacionario vuelve a la media geométricamente, $\hat x_{T+h}=\mu+\varphi^{h}(x_T-\mu)$, y el de un MA($q$) iguala la media desde $q+1$ pasos. Los pronósticos lejanos de cualquier ARMA estacionario son simplemente la media: estos modelos sirven para los próximos pasos y no mejoran el promedio después.

• AR($p$) depende de sus propios valores pasados; MA($q$) de los últimos $q$ choques; ARMA de ambos.
• AIC y BIC premian el ajuste y castigan los parámetros; gana el modelo con el menor valor, y el BIC es más estricto.
• Los pronósticos de un ARMA estacionario convergen a la media al crecer el horizonte.

Lab: qué se califica

• La media de un AR(1)15 pts
• Un pronóstico a dos pasos15 pts
• Una autocorrelación de MA(1)15 pts
• Un criterio de información15 pts
• Un coeficiente no estacionario15 pts
• Emparejar el vocabulario15 pts
• Por qué los pronósticos lejanos llegan a la media10 pts