نماذج AR وMA وARMA

لبنات المتوسط

يشرح الانحدار الذاتي من الرتبة $p$ أي AR($p$) قيمةً بماضيها نفسه: $x_t=c+\varphi_1x_{t-1}+\dots+\varphi_px_{t-p}+\varepsilon_t$. وهو مستقر حين تمنعه معاملاته من الانفجار، أي $|\varphi|<1$ في AR(1)، ومتوسطه $\mu=c/(1-\sum\varphi_i)$. أما المتوسط المتحرك من الرتبة $q$ أي MA($q$) فيشرح قيمةً بالصدمات الماضية: $x_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$. وهو مستقر دائمًا وذاكرته $q$ خطوة بالضبط. والجمع بينهما يعطي ARMA($p,q$) الذي يصف السلسلة غالبًا بمعاملات أقل مما يلزم لـ AR أو MA صرفين.

تُقدَّر المعاملات بالإمكان الأعظم. وتُختار الرتب بمقارنة معايير المعلومات: AIC $=2k-2\ln L$ وBIC $=k\ln T-2\ln L$ حيث $k$ عدد المعاملات و$L$ الإمكان، والأقل أفضل، وتمنع عقوبة $k$ إضافة حدود لا تلائم إلا الضجيج. ويعاقب BIC بشدة أكبر حين $T>7$ فيختار نماذج أصغر. وبعد الملاءمة ينبغي أن تشبه البواقي الضجيج الأبيض، وهذا ما يفحصه اختبار لجونغ-بوكس. وتنبؤ AR(1) المستقر يعود إلى المتوسط هندسيًا $\hat x_{T+h}=\mu+\varphi^{h}(x_T-\mu)$، وتنبؤ MA($q$) يساوي المتوسط ابتداءً من $q+1$ خطوة. فالتنبؤات البعيدة لأي ARMA مستقر هي المتوسط ببساطة، ولذلك تصلح هذه النماذج للخطوات القليلة التالية ولا تتفوق على المتوسط بعدها.

• AR($p$) يعتمد على قيمه الماضية؛ وMA($q$) على آخر $q$ صدمة؛ وARMA على كليهما.
• AIC وBIC يكافئان الملاءمة ويعاقبان المعاملات؛ ويفوز النموذج ذو القيمة الأدنى، وBIC أشد صرامة.
• تتقارب تنبؤات ARMA المستقر إلى المتوسط مع اتساع الأفق.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• متوسط AR(1)15 نقطة
• تنبؤ بخطوتين15 نقطة
• ارتباط ذاتي لنموذج MA(1)15 نقطة
• معيار معلومات15 نقطة
• معامل غير مستقر15 نقطة
• طابق المصطلحات15 نقطة
• لماذا تصل التنبؤات البعيدة إلى المتوسط10 نقطة