AR- MA- und ARMA-Modelle

Bausteine für den Mittelwert

Eine Autoregression der Ordnung $p$, AR($p$), erklärt einen Wert durch die eigene Vergangenheit: $x_t=c+\varphi_1x_{t-1}+\dots+\varphi_px_{t-p}+\varepsilon_t$. Sie ist stationär, wenn die Koeffizienten sie am Explodieren hindern, bei AR(1) heißt das $|\varphi|<1$, und ihr Mittelwert ist $\mu=c/(1-\sum\varphi_i)$. Ein gleitender Durchschnitt der Ordnung $q$, MA($q$), erklärt einen Wert durch vergangene Schocks: $x_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$. Er ist immer stationär und hat ein Gedächtnis von genau $q$ Schritten. Die Kombination ergibt ARMA($p,q$), das eine Reihe oft mit weniger Parametern beschreibt als ein reiner AR oder MA.

Die Parameter werden per Maximum Likelihood geschätzt. Die Ordnungen werden durch Vergleich von Informationskriterien gewählt, AIC $=2k-2\ln L$ und BIC $=k\ln T-2\ln L$, wobei $k$ die Parameterzahl und $L$ die Likelihood ist: Niedriger ist besser, und die Strafe auf $k$ verhindert Terme, die nur Rauschen anpassen. Der BIC bestraft für $T>7$ stärker und wählt daher kleinere Modelle. Nach der Anpassung sollten die Residuen wie weißes Rauschen aussehen, was der Ljung-Box-Test prüft. Die Prognose eines stationären AR(1) kehrt geometrisch zum Mittelwert zurück, $\hat x_{T+h}=\mu+\varphi^{h}(x_T-\mu)$, und die eines MA($q$) ist ab $q+1$ Schritten gleich dem Mittelwert. Weite Prognosen jedes stationären ARMA sind schlicht der Mittelwert: Solche Modelle taugen für die nächsten Schritte und sind danach nicht besser als der Durchschnitt.

• AR($p$) hängt von eigenen vergangenen Werten ab, MA($q$) von den letzten $q$ Schocks, ARMA von beiden.
• AIC und BIC belohnen die Anpassung und bestrafen Parameter; das Modell mit dem niedrigsten Wert gewinnt, der BIC ist strenger.
• Die Prognosen eines stationären ARMA konvergieren mit wachsendem Horizont zum Mittelwert.

Lab: Was bewertet wird

• Der Mittelwert eines AR(1)15 Pkt.
• Eine Zwei-Schritt-Prognose15 Pkt.
• Eine MA(1)-Autokorrelation15 Pkt.
• Ein Informationskriterium15 Pkt.
• Ein nichtstationärer Koeffizient15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Warum weite Prognosen den Mittelwert erreichen10 Pkt.