Einheitswurzeln und der ADF-Test

Gibt es eine Einheitswurzel?

In der Autoregression $x_t=\varphi x_{t-1}+\varepsilon_t$ bestimmt der Koeffizient $\varphi$ das Verhalten. Bei $|\varphi|<1$ ist die Reihe stationär und wird zum Mittelwert zurückgezogen. Bei $\varphi=1$ hat sie eine Einheitswurzel: Sie ist ein Random Walk, Schocks klingen nie ab, und die beste Prognose ist der letzte Wert. Die Frage zählt für den Handel, denn eine Mean-Reversion-Strategie braucht den ersten Fall, eine Trendstrategie kommt mit dem zweiten zurecht. Der Dickey-Fuller-Test schreibt das Modell als $\Delta x_t=\gamma x_{t-1}+\varepsilon_t$ mit $\gamma=\varphi-1$ und prüft die Nullhypothese $\gamma=0$ (Einheitswurzel) gegen $\gamma<0$ (stationär).

Die erweiterte Version (ADF) fügt verzögerte Differenzen $\Delta x_{t-i}$ hinzu, damit die Residuen frei von Autokorrelation sind. Die Statistik ist das übliche $t$-Verhältnis von $\hat\gamma$, folgt unter der Nullhypothese aber nicht der Student-t-Verteilung, sondern der Dickey-Fuller-Verteilung, deren kritische Werte negativer sind: etwa $-2{,}86$ bei 5 % mit Konstante und etwa $-3{,}41$ mit Konstante und Trend. Die Einheitswurzel wird nur verworfen, wenn die Statistik unter dem kritischen Wert liegt. Nicht zu verwerfen ist ein schwacher Hinweis: Der Test hat wenig Macht, wenn $\varphi$ nahe eins liegt oder die Stichprobe kurz ist, und eine stationäre, aber persistente Reihe wird oft für einen Random Walk gehalten. Bei einem stationären AR(1) beträgt die Halbwertszeit eines Schocks $\ln(1/2)/\ln\varphi$.

• Nullhypothese des ADF: eine Einheitswurzel. Verwerfen nur, wenn die Statistik unter dem kritischen Dickey-Fuller-Wert liegt.
• Geringe Macht: Eine persistente stationäre Reihe führt oft nicht zur Ablehnung, Nichtablehnung ist also kein Beweis.
• Halbwertszeit eines Schocks in einem stationären AR(1): $\ln(1/2)/\ln\varphi$.

Lab: Was bewertet wird

• Der Dickey-Fuller-Koeffizient15 Pkt.
• Eine Halbwertszeit15 Pkt.
• Die Teststatistik15 Pkt.
• Verwerfen oder nicht15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Einen Einheitswurzeltest durchführen10 Pkt.
• Nichtablehnung ist kein Beweis15 Pkt.