Autokorrelation ACF und PACF

Das Gedächtnis einer Reihe

Die Autokorrelation beim Lag $h$ ist die Korrelation der Reihe mit sich selbst, um $h$ Schritte verschoben: $\rho(h)=\gamma(h)/\gamma(0)$. Die Stichprobenversion summiert die Produkte der Abweichungen vom Mittelwert und teilt durch die gesamte quadrierte Abweichung. Bei reinem Rauschen mit $T$ Beobachtungen sind die Stichprobenautokorrelationen ungefähr normalverteilt mit Standardabweichung $1/\sqrt{T}$, ein Balken außerhalb von $\pm1{,}96/\sqrt{T}$ ist daher auf dem 5-%-Niveau ungewöhnlich. Tägliche Aktienrenditen zeigen fast keine Autokorrelation, weshalb einfache Regeln zur Renditeprognose scheitern. Ihre Quadrate schon: Auf große Bewegungen folgen große Bewegungen, das Kennzeichen des Volatilitäts-Clusterings.

Die partielle Autokorrelation beim Lag $h$ ist die Korrelation zwischen $x_t$ und $x_{t+h}$, nachdem der Einfluss der dazwischenliegenden Lags entfernt wurde. Die beiden Diagramme identifizieren ein Modell. Ein Autoregressionsmodell der Ordnung $p$ hat eine ACF, die allmählich abklingt, und eine PACF, die nach Lag $p$ abbricht. Ein gleitender Durchschnitt der Ordnung $q$ ist das Spiegelbild: eine ACF, die nach Lag $q$ abbricht, und eine PACF, die abklingt. Nach der Anpassung testet die Ljung-Box-Statistik $Q=T(T+2)\sum_{k=1}^{m}\hat\rho(k)^{2}/(T-k)$ die ersten $m$ Residualautokorrelationen gemeinsam. Sind sie nicht signifikant, hat das Modell das Gedächtnis erfasst.

• AR(p): Die ACF klingt ab, die PACF bricht nach Lag $p$ ab.
• MA(q): Die ACF bricht nach Lag $q$ ab, die PACF klingt ab.
• Weißes Rauschen: Jede Autokorrelation liegt in etwa 95 % der Fälle innerhalb von $\pm1{,}96/\sqrt{T}$.

Lab: Was bewertet wird

• Das 95-%-Band15 Pkt.
• Eine Stichprobenautokorrelation15 Pkt.
• Eine AR(1)-Autokorrelation15 Pkt.
• Die Diagramme lesen15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Ein Modell identifizieren10 Pkt.
• Renditen gegen quadrierte Renditen15 Pkt.