Stationarität und Differenzenbildung

Was stationär bedeutet

Eine Zeitreihe ist schwach stationär, wenn sich Mittelwert und Varianz nicht mit der Zeit ändern und die Kovarianz zwischen $x_t$ und $x_{t+h}$ nur vom Lag $h$ abhängt. Eine solche Reihe kehrt immer zum selben Niveau zurück und streut gleich stark, sodass das, was man auf einem Abschnitt schätzt, für den nächsten gilt. Tagesrenditen sind nahezu stationär. Kurse nicht: Sie wandern, und je länger man sie beobachtet, desto weiter können sie vom Start entfernt sein.

Das Standardmodell eines nichtstationären Kurses ist der Random Walk $x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t$: Jeder Schritt ist ein neuer Schock, die Schocks addieren sich, und die Varianz nach $t$ Schritten ist $t\sigma^{2}$, ohne Grenze. Differenzenbildung macht daraus die stationäre Reihe $\Delta x_t=\varepsilon_t$. Eine Reihe, die nach einer Differenz stationär wird, heißt integriert erster Ordnung, $I(1)$. Ist die Reihe stattdessen ein deterministischer Trend plus stationäres Rauschen, ist der richtige Weg, den geschätzten Trend abzuziehen; Differenzieren würde nur Rauschen hinzufügen. Differenzieren Sie nicht öfter als nötig: Eine bereits stationäre Reihe wird übermäßig differenziert und bekommt eine negative Autokorrelation, die vorher nicht da war.

• Schwache Stationarität: konstanter Mittelwert und konstante Varianz, Autokovarianz nur vom Lag abhängig.
• Differenzieren entfernt einen stochastischen Trend; Trendbereinigung einen deterministischen.
• Scheinregression: Zwei unabhängige Random Walks, aufeinander regressiert, zeigen oft ein hohes $R^2$ und eine signifikante Steigung.

Lab: Was bewertet wird

• Der Mittelwert der Differenzen15 Pkt.
• Eine logarithmische Rendite15 Pkt.
• Wie weit ein Random Walk wandert15 Pkt.
• Die stationäre Reihe erkennen15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Eine Reihe vor dem Modellieren prüfen10 Pkt.
• Warum eine Regression täuschen kann15 Pkt.