Stationnarité et différenciation

Ce que signifie stationnaire

Une série temporelle est faiblement stationnaire quand sa moyenne et sa variance ne changent pas avec le temps et que la covariance entre $x_t$ et $x_{t+h}$ ne dépend que du décalage $h$. Une telle série revient toujours au même niveau et se disperse de la même façon, donc ce qu'on estime sur une partie reste valable pour la suivante. Les rendements quotidiens sont proches de la stationnarité. Les prix non : ils errent, et plus on les observe longtemps, plus ils peuvent s'éloigner de leur point de départ.

Le modèle standard d'un prix non stationnaire est la marche aléatoire $x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t$ : chaque pas est un choc neuf, les chocs s'additionnent, et la variance après $t$ pas vaut $t\sigma^{2}$, sans limite. La différenciation la transforme en série stationnaire $\Delta x_t=\varepsilon_t$. Une série qui devient stationnaire après une différence est dite intégrée d'ordre un, notée $I(1)$. Si la série est plutôt une tendance déterministe plus un bruit stationnaire, la bonne correction est de retrancher la tendance ajustée ; différencier ne ferait qu'ajouter du bruit. Ne différenciez pas plus que nécessaire : une série déjà stationnaire devient sur-différenciée, avec une autocorrélation négative qui n'existait pas.

• Stationnarité faible : moyenne et variance constantes, et autocovariance qui ne dépend que du décalage.
• La différenciation retire une tendance stochastique ; le retrait de tendance retire une tendance déterministe.
• Régression fallacieuse : deux marches aléatoires sans lien régressées l'une sur l'autre montrent souvent un $R^2$ élevé et une pente significative.

Lab : ce qui est noté

• La moyenne des différences15 pts
• Un rendement logarithmique15 pts
• Jusqu'où erre une marche aléatoire15 pts
• Repérer la série stationnaire15 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Vérifier une série avant de la modéliser10 pts
• Pourquoi une régression peut tromper15 pts