Autocorrélation ACF et PACF

La mémoire d'une série

L'autocorrélation au décalage $h$ est la corrélation entre la série et elle-même décalée de $h$ pas : $\rho(h)=\gamma(h)/\gamma(0)$. La version empirique somme les produits des écarts à la moyenne et divise par l'écart quadratique total. Pour un bruit pur de $T$ observations, les autocorrélations empiriques sont à peu près normales d'écart type $1/\sqrt{T}$, donc une barre hors de $\pm1{,}96/\sqrt{T}$ est inhabituelle au seuil de 5 %. Les rendements quotidiens d'actions n'ont presque aucune autocorrélation, d'où l'échec des règles simples de prévision des rendements. Leurs carrés en ont : les grands mouvements suivent les grands mouvements, signature du regroupement de volatilité.

L'autocorrélation partielle au décalage $h$ est la corrélation entre $x_t$ et $x_{t+h}$ une fois retiré l'effet des décalages intermédiaires. Les deux graphiques identifient un modèle. Un autorégressif d'ordre $p$ a une ACF qui décroît progressivement et une PACF qui s'annule après le décalage $p$. Une moyenne mobile d'ordre $q$ est l'image miroir : une ACF qui s'annule après le décalage $q$ et une PACF qui décroît. Après l'ajustement, la statistique de Ljung-Box $Q=T(T+2)\sum_{k=1}^{m}\hat\rho(k)^{2}/(T-k)$ teste ensemble les $m$ premières autocorrélations des résidus. Si elles ne sont pas significatives, le modèle a capturé la mémoire.

• AR(p) : l'ACF décroît et la PACF s'annule après le décalage $p$.
• MA(q) : l'ACF s'annule après le décalage $q$ et la PACF décroît.
• Bruit blanc : chaque autocorrélation reste dans $\pm1{,}96/\sqrt{T}$ environ 95 % du temps.

Lab : ce qui est noté

• La bande à 95 %15 pts
• Une autocorrélation empirique15 pts
• Une autocorrélation d'AR(1)15 pts
• Lire les graphiques15 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Identifier un modèle10 pts
• Rendements contre rendements au carré15 pts