Racines unitaires et test ADF

Y a-t-il une racine unitaire ?

Dans l'autorégression $x_t=\varphi x_{t-1}+\varepsilon_t$ , le coefficient $\varphi$ décide du comportement. Avec $|\varphi|<1$ , la série est stationnaire et rappelée vers sa moyenne. Avec $\varphi=1$ , elle a une racine unitaire : c'est une marche aléatoire, les chocs ne s'estompent jamais et la meilleure prévision est la dernière valeur. La question compte pour le trading : une stratégie de retour à la moyenne exige le premier cas, une stratégie de tendance peut s'accommoder du second. Le test de Dickey-Fuller récrit le modèle $\Delta x_t=\gamma x_{t-1}+\varepsilon_t$ avec $\gamma=\varphi-1$ et teste l'hypothèse nulle $\gamma=0$ (racine unitaire) contre $\gamma<0$ (stationnaire).

\Delta x_t=\alpha+\beta t+\gamma x_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta x_{t-i}+\varepsilon_t,\qquad \mathrm{DF}=\frac{\hat\gamma}{\mathrm{se}(\hat\gamma)},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi}

(1)

La version augmentée (ADF) ajoute des différences retardées $\Delta x_{t-i}$ pour que les résidus soient sans autocorrélation. La statistique est le ratio $t$ habituel de $\hat\gamma$ , mais sous l'hypothèse nulle elle ne suit pas la loi de Student. Elle suit la loi de Dickey-Fuller, dont les valeurs critiques sont plus négatives : environ $-2{,}86$ à 5 % avec constante et environ $-3{,}41$ avec constante et tendance. On ne rejette la racine unitaire que si la statistique est sous la valeur critique. Ne pas rejeter est un indice faible : le test a peu de puissance quand $\varphi$ est proche de un ou l'échantillon court, si bien qu'une série stationnaire mais persistante est souvent prise pour une marche aléatoire. Pour un AR(1) stationnaire, la demi-vie d'un choc est $\ln(1/2)/\ln\varphi$ .

Lire un résultat ADFUne régression de

\Delta x_t

sur

x_{t-1}

donne

\hat\gamma=-0{,}08

d'écart type

0{,}03

, donc la statistique vaut

-0{,}08/0{,}03\approx-2{,}67

. Face à la valeur critique à 5 % de

-2{,}86

, ce n'est pas assez bas : on ne rejette pas la racine unitaire. Le

\hat\varphi=0{,}92

implicite aurait une demi-vie de

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}92)\approx8{,}3

jours si la série était vraiment stationnaire ; une statistique de

-3{,}4

franchirait le seuil et la série pourrait être traitée comme à retour à la moyenne.

Nulle de l'ADF : une racine unitaire. On ne rejette que si la statistique est sous la valeur critique de Dickey-Fuller.
Faible puissance : une série stationnaire persistante échoue souvent à rejeter, donc ne pas rejeter ne prouve rien.
Demi-vie d'un choc dans un AR(1) stationnaire : $\ln(1/2)/\ln\varphi$ .

Lab : ce qui est noté

Le coefficient de Dickey-Fuller15 pts
Une demi-vie15 pts
La statistique de test15 pts
Rejeter ou non15 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Mener un test de racine unitaire10 pts
Ne pas rejeter n'est pas prouver15 pts

Y a-t-il une racine unitaire ?

\Delta x_t=\alpha+\beta t+\gamma x_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta x_{t-i}+\varepsilon_t,\qquad \mathrm{DF}=\frac{\hat\gamma}{\mathrm{se}(\hat\gamma)},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi}

(1)

Lire un résultat ADFUne régression de

\Delta x_t

sur

x_{t-1}

donne

\hat\gamma=-0{,}08

d'écart type

0{,}03

, donc la statistique vaut

-0{,}08/0{,}03\approx-2{,}67

. Face à la valeur critique à 5 % de

-2{,}86

, ce n'est pas assez bas : on ne rejette pas la racine unitaire. Le

\hat\varphi=0{,}92

implicite aurait une demi-vie de

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}92)\approx8{,}3

jours si la série était vraiment stationnaire ; une statistique de

-3{,}4

franchirait le seuil et la série pourrait être traitée comme à retour à la moyenne.

Nulle de l'ADF : une racine unitaire. On ne rejette que si la statistique est sous la valeur critique de Dickey-Fuller.
Faible puissance : une série stationnaire persistante échoue souvent à rejeter, donc ne pas rejeter ne prouve rien.
Demi-vie d'un choc dans un AR(1) stationnaire : $\ln(1/2)/\ln\varphi$ .

Lab : ce qui est noté

Le coefficient de Dickey-Fuller15 pts
Une demi-vie15 pts
La statistique de test15 pts
Rejeter ou non15 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Mener un test de racine unitaire10 pts
Ne pas rejeter n'est pas prouver15 pts

Y a-t-il une racine unitaire ?

Lab : ce qui est noté

Connectez-vous pour exécuter votre code.

Racines unitaires et test ADF

Y a-t-il une racine unitaire ?

Lab : ce qui est noté

Connectez-vous pour exécuter votre code.