Raíces unitarias y la prueba ADF

¿Hay una raíz unitaria?

En la autorregresión $x_t=\varphi x_{t-1}+\varepsilon_t$ el coeficiente $\varphi$ decide el comportamiento. Con $|\varphi|<1$ la serie es estacionaria y vuelve hacia su media. Con $\varphi=1$ tiene una raíz unitaria: es un paseo aleatorio, los choques nunca se desvanecen y el mejor pronóstico es el último valor. La cuestión importa para el trading, porque una estrategia de reversión a la media necesita el primer caso y una de tendencia puede vivir con el segundo. La prueba de Dickey-Fuller reescribe el modelo como $\Delta x_t=\gamma x_{t-1}+\varepsilon_t$ con $\gamma=\varphi-1$ y contrasta la nula $\gamma=0$ (raíz unitaria) contra $\gamma<0$ (estacionaria).

\Delta x_t=\alpha+\beta t+\gamma x_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta x_{t-i}+\varepsilon_t,\qquad \mathrm{DF}=\frac{\hat\gamma}{\mathrm{se}(\hat\gamma)},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi}

(1)

La versión aumentada (ADF) añade diferencias retardadas $\Delta x_{t-i}$ para que los residuos no tengan autocorrelación. El estadístico es la razón $t$ habitual de $\hat\gamma$ , pero bajo la nula no sigue la t de Student. Sigue la distribución de Dickey-Fuller, cuyos valores críticos son más negativos: unos $-2{,}86$ al 5 % con constante y unos $-3{,}41$ con constante y tendencia. Solo se rechaza la raíz unitaria si el estadístico queda por debajo del valor crítico. No rechazar es una evidencia débil: la prueba tiene poca potencia cuando $\varphi$ está cerca de uno o la muestra es corta, y una serie estacionaria pero persistente se confunde a menudo con un paseo aleatorio. En un AR(1) estacionario la vida media de un choque es $\ln(1/2)/\ln\varphi$ .

Leer un resultado ADFUna regresión de

\Delta x_t

sobre

x_{t-1}

\hat\gamma=-0{,}08

con error típico

0{,}03

, así que el estadístico es

-0{,}08/0{,}03\approx-2{,}67

. Frente al valor crítico del 5 % de

-2{,}86

no es suficientemente bajo: no se rechaza la raíz unitaria. El

\hat\varphi=0{,}92

implícito tendría una vida media de

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}92)\approx8{,}3

días si la serie fuera realmente estacionaria; un estadístico de

-3{,}4

superaría el umbral y la serie podría tratarse como de reversión a la media.

Nula de la ADF: una raíz unitaria. Se rechaza solo si el estadístico queda por debajo del valor crítico de Dickey-Fuller.
Poca potencia: una serie estacionaria persistente suele no rechazar, así que no rechazar no es una prueba.
Vida media de un choque en un AR(1) estacionario: $\ln(1/2)/\ln\varphi$ .

Lab: qué se califica

El coeficiente de Dickey-Fuller15 pts
Una vida media15 pts
El estadístico de contraste15 pts
Rechazar o no15 pts
Emparejar el vocabulario15 pts
Hacer una prueba de raíz unitaria10 pts
No rechazar no es demostrar15 pts

¿Hay una raíz unitaria?

\Delta x_t=\alpha+\beta t+\gamma x_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta x_{t-i}+\varepsilon_t,\qquad \mathrm{DF}=\frac{\hat\gamma}{\mathrm{se}(\hat\gamma)},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi}

(1)

Leer un resultado ADFUna regresión de

\Delta x_t

sobre

x_{t-1}

\hat\gamma=-0{,}08

con error típico

0{,}03

, así que el estadístico es

-0{,}08/0{,}03\approx-2{,}67

. Frente al valor crítico del 5 % de

-2{,}86

no es suficientemente bajo: no se rechaza la raíz unitaria. El

\hat\varphi=0{,}92

implícito tendría una vida media de

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}92)\approx8{,}3

días si la serie fuera realmente estacionaria; un estadístico de

-3{,}4

superaría el umbral y la serie podría tratarse como de reversión a la media.

Nula de la ADF: una raíz unitaria. Se rechaza solo si el estadístico queda por debajo del valor crítico de Dickey-Fuller.
Poca potencia: una serie estacionaria persistente suele no rechazar, así que no rechazar no es una prueba.
Vida media de un choque en un AR(1) estacionario: $\ln(1/2)/\ln\varphi$ .

Lab: qué se califica

El coeficiente de Dickey-Fuller15 pts
Una vida media15 pts
El estadístico de contraste15 pts
Rechazar o no15 pts
Emparejar el vocabulario15 pts
Hacer una prueba de raíz unitaria10 pts
No rechazar no es demostrar15 pts

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