是否存在单位根
在自回归 xt=φxt−1+εt 中，系数 φ 决定序列的行为。若 ∣φ∣<1，序列平稳，会被拉回均值；若 φ=1，序列有单位根，是随机游走，冲击永不消退，最佳预测就是最新值。这对交易很重要：均值回归策略需要前一种情形，趋势策略则可以接受后一种。Dickey-Fuller 检验把模型改写为 Δxt=γxt−1+εt，其中 γ=φ−1，原假设 γ=0（有单位根），备择假设 γ<0（平稳）。
Δxt=α+βt+γxt−1+i=1∑pδiΔxt−i+εt,DF=se(γ^)γ^,t1/2=lnφln(1/2)(1) 增广版（ADF）加入滞后差分 Δxt−i，使残差没有自相关。统计量是 γ^ 通常的 t 比，但在原假设下它并不服从学生 t 分布，而是服从 Dickey-Fuller 分布，其临界值更负：带常数项时 5% 水平约为 −2.86，带常数项和趋势项时约为 −3.41。只有统计量低于临界值时才拒绝单位根。不拒绝只是弱证据：当 φ 接近 1 或样本较短时检验功效很低，平稳但持续性强的序列常被误判为随机游走。对平稳的 AR(1)，冲击的半衰期是 ln(1/2)/lnφ。
解读 ADF 结果将
Δxt 对
xt−1 回归，得到
γ^=−0.08，标准误
0.03，统计量为
−0.08/0.03≈−2.67。与 5% 临界值
−2.86 比，还不够小：不能拒绝单位根。对应的
φ^=0.92 若序列真的平稳，半衰期为
ln(0.5)/ln(0.92)≈8.3 天；如果统计量是
−3.4，就会越过门槛，序列可以按均值回归处理。
- ADF 的原假设：存在单位根。只有统计量低于 Dickey-Fuller 临界值才拒绝。
- 功效低：持续性强的平稳序列常常无法拒绝，不拒绝并不是证明。
- 平稳 AR(1) 中冲击的半衰期：ln(1/2)/lnφ。
实验：评分内容
- Dickey-Fuller 系数15 分
- 半衰期15 分
- 检验统计量15 分
- 是否拒绝15 分
- 配对术语15 分
- 进行单位根检验10 分
- 不拒绝不等于证明15 分
