الجذور الأحادية واختبار ADF

هل يوجد جذر أحادي؟

في الانحدار الذاتي $x_t=\varphi x_{t-1}+\varepsilon_t$ يحدد المعامل $\varphi$ السلوك. فإذا كان $|\varphi|<1$ كانت السلسلة مستقرة وتُسحب إلى متوسطها. وإذا كان $\varphi=1$ فللسلسلة جذر أحادي: هي مشي عشوائي، والصدمات لا تتلاشى أبدًا، وأفضل تنبؤ هو القيمة الأخيرة. والمسألة مهمة للتداول لأن استراتيجية العودة إلى المتوسط تحتاج الحالة الأولى، أما استراتيجية الاتجاه فتقبل الثانية. يعيد اختبار ديكي-فولر كتابة النموذج $\Delta x_t=\gamma x_{t-1}+\varepsilon_t$ مع $\gamma=\varphi-1$ ويختبر الفرضية الصفرية $\gamma=0$ (جذر أحادي) مقابل $\gamma<0$ (مستقرة).

تضيف النسخة المعزَّزة (ADF) فروقًا متأخرة $\Delta x_{t-i}$ لتخلو البواقي من الارتباط الذاتي. والإحصائية هي نسبة $t$ المعتادة لـ $\hat\gamma$، لكنها لا تتبع توزيع ستيودنت تحت الفرضية الصفرية، بل توزيع ديكي-فولر الذي قيمه الحرجة أكثر سالبية: نحو $-2.86$ عند 5% مع حد ثابت ونحو $-3.41$ مع حد ثابت واتجاه. ولا يُرفض الجذر الأحادي إلا إذا كانت الإحصائية دون القيمة الحرجة. وعدم الرفض دليل ضعيف: فللاختبار قوة قليلة حين يقترب $\varphi$ من الواحد أو تكون العينة قصيرة، فكثيرًا ما تُحسب سلسلة مستقرة لكن ثابتة الأثر مشيًا عشوائيًا. وفي AR(1) المستقر يكون عمر النصف للصدمة $\ln(1/2)/\ln\varphi$.

• فرضية ADF الصفرية: جذر أحادي. لا ترفض إلا إذا كانت الإحصائية دون القيمة الحرجة لديكي-فولر.
• قوة ضعيفة: كثيرًا ما لا ترفض السلسلة المستقرة الثابتة الأثر، فعدم الرفض ليس برهانًا.
• عمر النصف للصدمة في AR(1) مستقر: $\ln(1/2)/\ln\varphi$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• معامل ديكي-فولر15 نقطة
• عمر نصف15 نقطة
• إحصائية الاختبار15 نقطة
• الرفض أو عدمه15 نقطة
• طابق المصطلحات15 نقطة
• إجراء اختبار الجذر الأحادي10 نقطة
• عدم الرفض ليس إثباتًا15 نقطة