Modèles AR MA et ARMA

Les briques de la moyenne

Un autorégressif d'ordre $p$, AR($p$), explique une valeur par son propre passé : $x_t=c+\varphi_1x_{t-1}+\dots+\varphi_px_{t-p}+\varepsilon_t$. Il est stationnaire quand ses coefficients l'empêchent d'exploser, ce qui pour un AR(1) signifie $|\varphi|<1$, et sa moyenne est $\mu=c/(1-\sum\varphi_i)$. Une moyenne mobile d'ordre $q$, MA($q$), explique une valeur par les chocs passés : $x_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$. Elle est toujours stationnaire et sa mémoire dure exactement $q$ pas. La combinaison donne ARMA($p,q$), qui décrit souvent une série avec moins de paramètres qu'un AR ou un MA pur.

Les paramètres sont estimés par maximum de vraisemblance. Les ordres se choisissent en comparant des critères d'information, l'AIC $=2k-2\ln L$ et le BIC $=k\ln T-2\ln L$, où $k$ est le nombre de paramètres et $L$ la vraisemblance : plus bas est mieux, et la pénalité sur $k$ évite d'ajouter des termes qui n'ajustent que du bruit. Le BIC pénalise plus fortement quand $T>7$ et choisit donc des modèles plus petits. Après l'ajustement, les résidus doivent ressembler à un bruit blanc, ce que vérifie le test de Ljung-Box. La prévision d'un AR(1) stationnaire revient à la moyenne géométriquement, $\hat x_{T+h}=\mu+\varphi^{h}(x_T-\mu)$, et celle d'un MA($q$) vaut la moyenne à partir de $q+1$ pas. Les prévisions lointaines de tout ARMA stationnaire valent simplement la moyenne : ces modèles sont bons pour les prochains pas et pas meilleurs que la moyenne ensuite.

• AR($p$) dépend de ses propres valeurs passées ; MA($q$) des $q$ derniers chocs ; ARMA des deux.
• AIC et BIC récompensent l'ajustement et punissent les paramètres ; le modèle de plus faible valeur gagne, le BIC étant plus strict.
• Les prévisions d'un ARMA stationnaire convergent vers la moyenne quand l'horizon grandit.

Lab : ce qui est noté

• La moyenne d'un AR(1)15 pts
• Une prévision à deux pas15 pts
• Une autocorrélation de MA(1)15 pts
• Un critère d'information15 pts
• Un coefficient non stationnaire15 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Pourquoi les prévisions lointaines rejoignent la moyenne10 pts