Estacionariedad y diferenciación

Qué significa estacionario

Una serie temporal es débilmente estacionaria cuando su media y su varianza no cambian con el tiempo y la covarianza entre $x_t$ y $x_{t+h}$ depende solo del retardo $h$ . Una serie así vuelve siempre al mismo nivel y se dispersa lo mismo, así que lo que se estima en un tramo vale para el siguiente. Los rendimientos diarios son casi estacionarios. Los precios no: deambulan, y cuanto más tiempo se los observa, más pueden alejarse de donde empezaron.

E[x_t]=\mu,\qquad \mathrm{Var}(x_t)=\sigma^{2},\qquad \mathrm{Cov}(x_t,x_{t+h})=\gamma(h);\qquad \Delta x_t=x_t-x_{t-1},\qquad r_t=\ln P_t-\ln P_{t-1}

(1)

El modelo estándar de un precio no estacionario es el paseo aleatorio $x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t$ : cada paso es un choque nuevo, los choques se acumulan y la varianza tras $t$ pasos es $t\sigma^{2}$ , sin límite. La diferenciación lo convierte en la serie estacionaria $\Delta x_t=\varepsilon_t$ . Una serie que se vuelve estacionaria tras una diferencia se llama integrada de orden uno, $I(1)$ . Si la serie es en cambio una tendencia determinista más ruido estacionario, lo correcto es restar la tendencia ajustada; diferenciar solo añadiría ruido. No diferencie más de lo necesario: una serie ya estacionaria queda sobrediferenciada, con una autocorrelación negativa que antes no existía.

Diferenciar cinco preciosTomemos los precios

100,\,102,\,101,\,105,\,104

. Las diferencias son

2,\,-1,\,4,\,-1

, con media

1{,}0

. El nivel se movió mucho, pero las diferencias quedan en una banda estrecha alrededor de una constante, que es el aspecto de una serie estacionaria. El rendimiento logarítmico de 100 a 102 es

\ln(1{,}02)\approx0{,}0198

, cercano al rendimiento simple de

2\%

para movimientos pequeños.

Estacionariedad débil: media y varianza constantes y una autocovarianza que depende solo del retardo.
Diferenciar elimina una tendencia estocástica; quitar la tendencia elimina una determinista.
Regresión espuria: dos paseos aleatorios sin relación, regresados entre sí, suelen mostrar un $R^2$ alto y una pendiente significativa.

Lab: qué se califica

La media de las diferencias15 pts
Un rendimiento logarítmico15 pts
Hasta dónde deambula un paseo aleatorio15 pts
Reconocer la serie estacionaria15 pts
Emparejar el vocabulario15 pts
Revisar una serie antes de modelarla10 pts
Por qué una regresión puede engañar15 pts

Qué significa estacionario

E[x_t]=\mu,\qquad \mathrm{Var}(x_t)=\sigma^{2},\qquad \mathrm{Cov}(x_t,x_{t+h})=\gamma(h);\qquad \Delta x_t=x_t-x_{t-1},\qquad r_t=\ln P_t-\ln P_{t-1}

(1)

Diferenciar cinco preciosTomemos los precios

100,\,102,\,101,\,105,\,104

. Las diferencias son

2,\,-1,\,4,\,-1

, con media

1{,}0

. El nivel se movió mucho, pero las diferencias quedan en una banda estrecha alrededor de una constante, que es el aspecto de una serie estacionaria. El rendimiento logarítmico de 100 a 102 es

\ln(1{,}02)\approx0{,}0198

, cercano al rendimiento simple de

2\%

para movimientos pequeños.

Estacionariedad débil: media y varianza constantes y una autocovarianza que depende solo del retardo.
Diferenciar elimina una tendencia estocástica; quitar la tendencia elimina una determinista.
Regresión espuria: dos paseos aleatorios sin relación, regresados entre sí, suelen mostrar un $R^2$ alto y una pendiente significativa.

Lab: qué se califica

La media de las diferencias15 pts
Un rendimiento logarítmico15 pts
Hasta dónde deambula un paseo aleatorio15 pts
Reconocer la serie estacionaria15 pts
Emparejar el vocabulario15 pts
Revisar una serie antes de modelarla10 pts
Por qué una regresión puede engañar15 pts

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