定常性と差分

定常とは何か

時系列が弱定常であるとは、平均と分散が時間で変わらず、$x_t$ と $x_{t+h}$ の共分散がラグ $h$ だけに依存することです。そのような系列は同じ水準に戻り続け、同じ幅で散らばるので、ある区間で推定したことが次の区間にも当てはまります。日次リターンはほぼ定常です。価格は違います。さまよい、長く見るほど出発点から遠く離れることがあります。

非定常な価格の標準モデルはランダムウォーク $x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t$ です。各ステップは新しいショックで、ショックは積み上がるので、$t$ ステップ後の分散は $t\sigma^{2}$ となり限りなく増えます。差分を取ると定常な系列 $\Delta x_t=\varepsilon_t$ になります。1回の差分で定常になる系列を1次和分といい $I(1)$ と書きます。一方、決定論的トレンドに定常なノイズが乗った系列なら、当てはめたトレンドを引くのが正しく、差分はノイズを増やすだけです。必要以上に差分してはいけません。すでに定常な系列を差分すると、それまでなかった負の自己相関が生じる過剰差分になります。

• 弱定常性：平均と分散が一定で、自己共分散がラグだけに依存する。
• 差分は確率的トレンドを、トレンド除去は決定論的トレンドを取り除く。
• 見せかけの回帰：無関係な2つのランダムウォークを回帰すると、$R^2$ が高く傾きが有意になることがよくある。

ラボ：採点される内容

• 差分の平均15点
• 対数リターン15点
• ランダムウォークはどこまで動くか15点
• 定常な系列を見分ける15点
• 用語を結び付ける15点
• モデル化の前に系列を確認する10点
• 回帰が誤解を招く理由15点