Cointegração e pares

Dois passeios que ficam juntos

Duas séries de preços $x_t$ e $y_t$ integradas de ordem um podem ainda compartilhar um vínculo de longo prazo: se alguma combinação $z_t=y_t-\alpha-\beta x_t$ é estacionária, as séries são cointegradas. Cada uma vaga, mas vagam juntas, e a distância $z_t$ volta sempre à sua média. Essa é a base estatística do pairs trading: quando o spread está incomumente largo, vende-se a perna cara e compra-se a barata, esperando que feche. A cointegração trata dos níveis de preço no longo prazo. Difere da correlação, que mede se os retornos diários se movem juntos e nada diz sobre os níveis ficarem próximos.

z_t=y_t-\alpha-\beta x_t,\qquad Z_t=\frac{z_t-\bar z}{s_z},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi},\qquad \Delta y_t=-\lambda\,z_{t-1}+\dots

(1)

O teste de Engle-Granger tem dois passos. Primeiro regride-se $y_t$ sobre $x_t$ por mínimos quadrados para estimar $\alpha$ e a razão de hedge $\beta$ . Depois faz-se um teste ADF nos resíduos $z_t$ . Como os resíduos vêm de uma regressão ajustada, os valores críticos ADF comuns são indulgentes demais e valem os de Engle-Granger: cerca de $-3{,}34$ a 5 % para duas séries com constante. Se a raiz unitária é rejeitada, o par é cointegrado e o spread reverte à média com meia-vida $\ln(1/2)/\ln\varphi$ , em que $\varphi$ é o coeficiente AR(1) do spread. A visão de correção de erro diz que, se o spread de ontem foi positivo, hoje $y$ cai ou $x$ sobe. Para negociar, padroniza-se o spread em z-score, entra-se quando $|Z|$ passa de cerca de 2, sai-se perto de 0 e dimensionam-se as pernas por $\beta$ . Os riscos são reais: a relação pode quebrar, $\beta$ deriva, os custos comem spreads pequenos e testar milhares de pares achará muitos que passam por acaso; escolha pares por uma razão econômica e confirme fora da amostra.

Um spread e seu sinalSuponha que a regressão de

y

sobre

x

deu

\alpha=10

\beta=1{,}5

. Com

x=40

y=73

o spread é

z=73-10-1{,}5\cdot40=3

. Se o spread tem média

0

e desvio padrão

1{,}5

, o z-score é

Z=2

y

está caro em relação a

x

. A operação vende 100 unidades de

y

e compra

1{,}5\cdot100=150

unidades de

x

. Se o coeficiente AR(1) do spread é

0{,}95

por dia, a meia-vida é

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}95)\approx13{,}5

dias, então espere semanas, não horas.

Cointegradas: cada série vaga, mas uma combinação linear delas é estacionária.
Engle-Granger: regredir e depois testar os resíduos com ADF usando os valores críticos mais estritos de Engle-Granger.
Pairs trade: negociar o z-score do spread, dimensionar as pernas por $\beta$ e esperar que feche em cerca de uma meia-vida.

Lab: o que é avaliado

O spread15 pts
O z-score10 pts
A meia-vida do spread15 pts
Dimensionar as pernas10 pts
Ler o teste15 pts
Associar o vocabulário15 pts
Montar um pairs trade10 pts
Correlação não é cointegração10 pts

Dois passeios que ficam juntos

z_t=y_t-\alpha-\beta x_t,\qquad Z_t=\frac{z_t-\bar z}{s_z},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi},\qquad \Delta y_t=-\lambda\,z_{t-1}+\dots

(1)

Um spread e seu sinalSuponha que a regressão de

y

sobre

x

deu

\alpha=10

\beta=1{,}5

. Com

x=40

y=73

o spread é

z=73-10-1{,}5\cdot40=3

. Se o spread tem média

0

e desvio padrão

1{,}5

, o z-score é

Z=2

y

está caro em relação a

x

. A operação vende 100 unidades de

y

e compra

1{,}5\cdot100=150

unidades de

x

. Se o coeficiente AR(1) do spread é

0{,}95

por dia, a meia-vida é

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}95)\approx13{,}5

dias, então espere semanas, não horas.

Cointegradas: cada série vaga, mas uma combinação linear delas é estacionária.
Engle-Granger: regredir e depois testar os resíduos com ADF usando os valores críticos mais estritos de Engle-Granger.
Pairs trade: negociar o z-score do spread, dimensionar as pernas por $\beta$ e esperar que feche em cerca de uma meia-vida.

Lab: o que é avaliado

O spread15 pts
O z-score10 pts
A meia-vida do spread15 pts
Dimensionar as pernas10 pts
Ler o teste15 pts
Associar o vocabulário15 pts
Montar um pairs trade10 pts
Correlação não é cointegração10 pts

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