Cointégration et paires

Deux marches qui restent ensemble

Deux séries de prix $x_t$ et $y_t$ intégrées d'ordre un peuvent partager un lien de long terme : si une combinaison $z_t=y_t-\alpha-\beta x_t$ est stationnaire, les séries sont cointégrées. Chacune erre, mais elles errent ensemble et l'écart $z_t$ revient toujours à sa moyenne. C'est la base statistique du pairs trading : quand le spread est inhabituellement large, on vend la jambe chère et on achète la bon marché, en espérant qu'il se referme. La cointégration porte sur les niveaux de prix à long terme. Elle diffère de la corrélation, qui mesure si les rendements quotidiens évoluent ensemble sans dire si les niveaux restent proches.

z_t=y_t-\alpha-\beta x_t,\qquad Z_t=\frac{z_t-\bar z}{s_z},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi},\qquad \Delta y_t=-\lambda\,z_{t-1}+\dots

(1)

Le test d'Engle-Granger a deux étapes. D'abord on régresse $y_t$ sur $x_t$ par moindres carrés pour estimer $\alpha$ et le ratio de couverture $\beta$ . Puis on fait un test ADF sur les résidus $z_t$ . Comme les résidus viennent d'une régression ajustée, les valeurs critiques ADF ordinaires sont trop indulgentes et l'on applique celles d'Engle-Granger : environ $-3{,}34$ à 5 % pour deux séries avec constante. Si la racine unitaire est rejetée, la paire est cointégrée et le spread revient à la moyenne avec une demi-vie $\ln(1/2)/\ln\varphi$ , où $\varphi$ est le coefficient AR(1) du spread. La vue en correction d'erreur dit que si le spread d'hier était positif, $y$ baisse ou $x$ monte aujourd'hui. Pour trader, on standardise le spread en z-score, on entre quand $|Z|$ dépasse environ 2, on sort près de 0 et on dimensionne les jambes par $\beta$ . Les risques sont réels : la relation peut casser, $\beta$ dérive, les coûts mangent les petits spreads, et tester des milliers de paires en trouvera beaucoup qui passent par hasard ; choisissez donc les paires pour une raison économique et confirmez hors échantillon.

Un spread et son signalSupposons que la régression de

y

sur

x

donne

\alpha=10

\beta=1{,}5

. Quand

x=40

y=73

, le spread vaut

z=73-10-1{,}5\cdot40=3

. Si le spread a pour moyenne

0

et écart type

1{,}5

, le z-score est

Z=2

y

est cher par rapport à

x

. Le trade vend 100 unités de

y

et achète

1{,}5\cdot100=150

unités de

x

. Si le coefficient AR(1) du spread est

0{,}95

par jour, la demi-vie est

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}95)\approx13{,}5

jours : il faut s'attendre à attendre des semaines, pas des heures.

Cointégrées : chaque série erre, mais une combinaison linéaire d'elles est stationnaire.
Engle-Granger : régresser, puis tester les résidus par ADF avec les valeurs critiques plus strictes d'Engle-Granger.
Pairs trade : trader le z-score du spread, dimensionner les jambes par $\beta$ et s'attendre à une fermeture en environ une demi-vie.

Lab : ce qui est noté

Le spread15 pts
Le z-score10 pts
La demi-vie du spread15 pts
Dimensionner les jambes10 pts
Lire le test15 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Construire un pairs trade10 pts
Corrélation n'est pas cointégration10 pts

Deux marches qui restent ensemble

z_t=y_t-\alpha-\beta x_t,\qquad Z_t=\frac{z_t-\bar z}{s_z},\qquad t_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln\varphi},\qquad \Delta y_t=-\lambda\,z_{t-1}+\dots

(1)

Un spread et son signalSupposons que la régression de

y

sur

x

donne

\alpha=10

\beta=1{,}5

. Quand

x=40

y=73

, le spread vaut

z=73-10-1{,}5\cdot40=3

. Si le spread a pour moyenne

0

et écart type

1{,}5

, le z-score est

Z=2

y

est cher par rapport à

x

. Le trade vend 100 unités de

y

et achète

1{,}5\cdot100=150

unités de

x

. Si le coefficient AR(1) du spread est

0{,}95

par jour, la demi-vie est

\ln(0{,}5)/\ln(0{,}95)\approx13{,}5

jours : il faut s'attendre à attendre des semaines, pas des heures.

Cointégrées : chaque série erre, mais une combinaison linéaire d'elles est stationnaire.
Engle-Granger : régresser, puis tester les résidus par ADF avec les valeurs critiques plus strictes d'Engle-Granger.
Pairs trade : trader le z-score du spread, dimensionner les jambes par $\beta$ et s'attendre à une fermeture en environ une demi-vie.

Lab : ce qui est noté

Le spread15 pts
Le z-score10 pts
La demi-vie du spread15 pts
Dimensionner les jambes10 pts
Lire le test15 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Construire un pairs trade10 pts
Corrélation n'est pas cointégration10 pts

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