Estimateurs de volatilité réalisée

Mesurer une volatilité que l'on ne voit pas

La volatilité n'est jamais observée directement, seulement estimée. L'estimateur le plus simple est close-to-close : l'écart type des rendements logarithmiques quotidiens, annualisé en multipliant par $\sqrt{252}$ . Il utilise un nombre par jour et ignore tout ce qui s'est passé entre l'ouverture et la clôture. Avec des prix intrajournaliers on peut faire bien mieux. La variance réalisée d'un jour est la somme de ses rendements intrajournaliers au carré, $RV_t=\sum_{i=1}^{m}r_{t,i}^{2}$ , et quand l'échantillonnage s'affine elle approche la vraie variance du jour. En pratique l'échantillonnage le plus fin se retourne contre vous, car le rebond bid-ask et l'arrondi ajoutent un bruit qui gonfle $RV$ ; des rendements toutes les 5 minutes, ou une moyenne sur plusieurs grilles décalées, sont un compromis courant.

RV_t=\sum_{i=1}^{m}r_{t,i}^{2},\qquad \hat\sigma^{2}_{P}=\frac{\big(\ln(H/L)\big)^{2}}{4\ln 2},\qquad \sigma_{A}=\sigma_{D}\sqrt{252},\qquad RV_{t+1}=\beta_0+\beta_dRV_t+\beta_wRV_{t}^{(5)}+\beta_mRV_{t}^{(22)}+\varepsilon

(1)

Sans données intrajournalières, le plus haut $H$ et le plus bas $L$ du jour renseignent encore sur la trajectoire. L'estimateur de Parkinson $\hat\sigma^{2}=(\ln(H/L))^{2}/(4\ln2)$ est environ cinq fois plus efficace que close-to-close, et Garman-Klass ajoute l'ouverture et la clôture. Ils supposent une cotation continue, donc ils sont biaisés vers le bas quand les prix sautent ou que l'écart de la nuit est grand. On veut une meilleure mesure pour prévoir : le rendement quotidien au carré est un indicateur non biaisé mais extrêmement bruité de la variance du jour, un tirage dans une loi large, alors que $RV$ moyenne beaucoup de tirages. Le modèle HAR-RV de Corsi régresse le $RV$ de demain sur la valeur du jour, la moyenne des 5 derniers jours et celle des 22 derniers. Trois termes suffisent à reproduire la décroissance lente à longue mémoire de la volatilité, et le modèle est difficile à battre comme référence.

Deux petites estimationsQuatre rendements intrajournaliers de

0{,}10\%

-0{,}20\%

0{,}15\%

0{,}05\%

donnent

RV=0{,}01+0{,}04+0{,}0225+0{,}0025=0{,}075

en pourcent au carré, soit une volatilité de

0{,}27\%

sur la période couverte. Un jour de plus haut

102

et de plus bas

99

donne

\ln(102/99)=0{,}0299

, donc la variance de Parkinson vaut

0{,}0299^{2}/(4\ln2)=0{,}000321

et la volatilité quotidienne

1{,}79\%

, soit

1{,}79\%\cdot\sqrt{252}\approx28{,}5\%

annualisés. Une prévision HAR avec

\beta=(0{,}1;0{,}3;0{,}4;0{,}2)

et des

RV

2

(jour),

1{,}5

(moyenne 5 jours) et

1

(moyenne 22 jours) vaut

0{,}1+0{,}6+0{,}6+0{,}2=1{,}5

Close-to-close : écart type des rendements quotidiens fois $\sqrt{252}$ ; il ignore la trajectoire dans la journée.
La variance réalisée somme les rendements intrajournaliers au carré ; un échantillonnage très fin ajoute du bruit de microstructure.
Les estimateurs d'amplitude (Parkinson, Garman-Klass) utilisent plus haut, plus bas, ouverture et clôture ; HAR-RV prévoit à partir de moyennes quotidienne, hebdomadaire et mensuelle.

Lab : ce qui est noté

Variance réalisée15 pts
Annualiser15 pts
L'estimateur de Parkinson15 pts
Une prévision HAR15 pts
Pourquoi ne pas échantillonner chaque seconde10 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Un meilleur indicateur que le rendement au carré15 pts

Mesurer une volatilité que l'on ne voit pas

RV_t=\sum_{i=1}^{m}r_{t,i}^{2},\qquad \hat\sigma^{2}_{P}=\frac{\big(\ln(H/L)\big)^{2}}{4\ln 2},\qquad \sigma_{A}=\sigma_{D}\sqrt{252},\qquad RV_{t+1}=\beta_0+\beta_dRV_t+\beta_wRV_{t}^{(5)}+\beta_mRV_{t}^{(22)}+\varepsilon

(1)

Deux petites estimationsQuatre rendements intrajournaliers de

0{,}10\%

-0{,}20\%

0{,}15\%

0{,}05\%

donnent

RV=0{,}01+0{,}04+0{,}0225+0{,}0025=0{,}075

en pourcent au carré, soit une volatilité de

0{,}27\%

sur la période couverte. Un jour de plus haut

102

et de plus bas

99

donne

\ln(102/99)=0{,}0299

, donc la variance de Parkinson vaut

0{,}0299^{2}/(4\ln2)=0{,}000321

et la volatilité quotidienne

1{,}79\%

, soit

1{,}79\%\cdot\sqrt{252}\approx28{,}5\%

annualisés. Une prévision HAR avec

\beta=(0{,}1;0{,}3;0{,}4;0{,}2)

et des

RV

2

(jour),

1{,}5

(moyenne 5 jours) et

1

(moyenne 22 jours) vaut

0{,}1+0{,}6+0{,}6+0{,}2=1{,}5

Close-to-close : écart type des rendements quotidiens fois $\sqrt{252}$ ; il ignore la trajectoire dans la journée.
La variance réalisée somme les rendements intrajournaliers au carré ; un échantillonnage très fin ajoute du bruit de microstructure.
Les estimateurs d'amplitude (Parkinson, Garman-Klass) utilisent plus haut, plus bas, ouverture et clôture ; HAR-RV prévoit à partir de moyennes quotidienne, hebdomadaire et mensuelle.

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Variance réalisée15 pts
Annualiser15 pts
L'estimateur de Parkinson15 pts
Une prévision HAR15 pts
Pourquoi ne pas échantillonner chaque seconde10 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Un meilleur indicateur que le rendement au carré15 pts

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