Modèles d'état et filtre de Kalman

Suivre un état caché

Beaucoup de grandeurs importantes ne se voient pas directement : la juste valeur d'une action derrière des cotations bruitées, le ratio de couverture entre deux actifs qui dérive dans le temps, le niveau courant de la volatilité. Un modèle d'état les décrit avec deux équations. L'état évolue de lui-même, $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ avec un bruit de variance $Q$ . Ce qu'on observe en est une vue bruitée, $y_t=Hx_t+v_t$ avec un bruit de variance $R$ . Le filtre de Kalman combine les deux dans une boucle qui donne la meilleure estimation linéaire de l'état à partir des données vues jusque-là, avec son incertitude $P$ . C'est la solution exacte quand les bruits sont gaussiens et le modèle linéaire.

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Les formules ci-dessus sont celles du modèle de niveau local scalaire, où le niveau caché est une marche aléatoire ( $F=H=1$ ). Chaque pas a deux parties. Prédire : la meilleure estimation du nouvel état est l'ancienne, et l'incertitude croît de $Q$ jusqu'à $P^{-}=P+Q$ . Mettre à jour : le gain $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ décide de combien se déplacer vers la nouvelle observation. Un $R$ grand (mesure bruitée) donne un petit $K$ , le filtre se fie à sa prédiction ; un $R$ petit donne un $K$ proche de 1 et le filtre suit les données. Après la mise à jour l'incertitude tombe à $(1-K)P^{-}$ . L'erreur de prévision $y-\hat x^{-}$ , appelée innovation, doit être un bruit blanc si le modèle est bon, et $Q$ et $R$ s'estiment d'ordinaire en maximisant la vraisemblance construite à partir des innovations.

Une étape du filtrePartons de

\hat x=100

P=4

, avec

Q=1

R=5

. Prédiction :

P^{-}=4+1=5

. L'observation est

y=104

. Le gain vaut

K=5/(5+5)=0{,}5

, donc la mise à jour donne

\hat x=100+0{,}5\cdot(104-100)=102

et l'incertitude tombe à

P=(1-0{,}5)\cdot5=2{,}5

. La nouvelle estimation est à mi-chemin entre prédiction et observation car elles sont également incertaines. Avec une mesure plus bruitée,

R=20

, le gain tomberait à

5/25=0{,}2

et l'estimation n'irait qu'à

100{,}8

Équation d'état $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ et équation d'observation $y_t=Hx_t+v_t$ de bruits de variances $Q$ et $R$ .
Gain de Kalman $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : proche de 0, on se fie au modèle ; proche de 1, on se fie aux données.
Usages : ratio de couverture variable pour les paires, juste valeur derrière des prix bruités, états de volatilité ; les innovations doivent être un bruit blanc.

Lab : ce qui est noté

L'étape de prédiction10 pts
Le gain de Kalman15 pts
L'estimation mise à jour15 pts
L'incertitude mise à jour15 pts
Une mesure plus bruitée10 pts
Une mesure très bruitée10 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Un ratio de couverture qui dérive10 pts

Suivre un état caché

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Une étape du filtrePartons de

\hat x=100

P=4

, avec

Q=1

R=5

. Prédiction :

P^{-}=4+1=5

. L'observation est

y=104

. Le gain vaut

K=5/(5+5)=0{,}5

, donc la mise à jour donne

\hat x=100+0{,}5\cdot(104-100)=102

et l'incertitude tombe à

P=(1-0{,}5)\cdot5=2{,}5

. La nouvelle estimation est à mi-chemin entre prédiction et observation car elles sont également incertaines. Avec une mesure plus bruitée,

R=20

, le gain tomberait à

5/25=0{,}2

et l'estimation n'irait qu'à

100{,}8

Équation d'état $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ et équation d'observation $y_t=Hx_t+v_t$ de bruits de variances $Q$ et $R$ .
Gain de Kalman $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : proche de 0, on se fie au modèle ; proche de 1, on se fie aux données.
Usages : ratio de couverture variable pour les paires, juste valeur derrière des prix bruités, états de volatilité ; les innovations doivent être un bruit blanc.

Lab : ce qui est noté

L'étape de prédiction10 pts
Le gain de Kalman15 pts
L'estimation mise à jour15 pts
L'incertitude mise à jour15 pts
Une mesure plus bruitée10 pts
Une mesure très bruitée10 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Un ratio de couverture qui dérive10 pts

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