نماذج فضاء الحالة ومرشح كالمان

تتبع حالة خفية

كثير من الكميات المهمة لا تُرى مباشرة: القيمة العادلة لسهم خلف أسعار معروضة مشوشة، ونسبة التحوط بين أصلين التي تنجرف عبر الزمن، والمستوى الحالي للتقلب. ويصفها نموذج فضاء الحالة بمعادلتين. تتطور الحالة بنفسها $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ بضجيج تباينه $Q$ . وما نرصده رؤية مشوشة لها $y_t=Hx_t+v_t$ بضجيج تباينه $R$ . ويجمع مرشح كالمان بينهما في حلقة تعطي أفضل تقدير خطي للحالة من البيانات المرصودة حتى الآن مع عدم اليقين $P$ فيه. وهو الحل الدقيق حين يكون الضجيج غاوسيًا والنموذج خطيًا.

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

الصيغ أعلاه هي صيغ نموذج المستوى المحلي القياسي حيث المستوى الخفي مشي عشوائي ( $F=H=1$ ). وفي كل خطوة جزآن. التنبؤ: أفضل تخمين للحالة الجديدة هو التقدير القديم وينمو عدم اليقين بمقدار $Q$ إلى $P^{-}=P+Q$ . والتحديث: يحدد الكسب $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ مدى التحرك نحو الملاحظة الجديدة. فـ $R$ الكبير (قياس مشوش) يعطي $K$ صغيرًا فيثق المرشح بتنبؤه؛ و $R$ الصغير يعطي $K$ قريبًا من 1 فيتبع البيانات. وبعد التحديث ينخفض عدم اليقين إلى $(1-K)P^{-}$ . وخطأ التنبؤ $y-\hat x^{-}$ ويسمى الابتكار ينبغي أن يكون ضجيجًا أبيض إن كان النموذج صحيحًا، ويُقدَّر $Q$ و $R$ عادة بتعظيم الإمكان المبني من الابتكارات.

خطوة واحدة من المرشحنبدأ بـ

\hat x=100

P=4

مع

Q=1

R=5

. التنبؤ:

P^{-}=4+1=5

. الملاحظة

y=104

. الكسب

K=5/(5+5)=0.5

فيكون التحديث

\hat x=100+0.5\cdot(104-100)=102

وينخفض عدم اليقين إلى

P=(1-0.5)\cdot5=2.5

. يقع التقدير الجديد في منتصف الطريق بين التنبؤ والملاحظة لأنهما بالقدر نفسه من عدم اليقين. ولو كان القياس أكثر تشويشًا

R=20

لهبط الكسب إلى

5/25=0.2

ولما تحرك التقدير إلا إلى

100.8

معادلة الحالة $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ ومعادلة الرصد $y_t=Hx_t+v_t$ بضجيج تباينه $Q$ و $R$ .
كسب كالمان $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : القريب من 0 يعني الثقة بالنموذج والقريب من 1 الثقة بالبيانات.
الاستعمالات: نسبة تحوط متغيرة للأزواج، وقيمة عادلة خلف أسعار مشوشة، وحالات التقلب؛ والابتكارات ينبغي أن تكون ضجيجًا أبيض.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

خطوة التنبؤ10 نقطة
كسب كالمان15 نقطة
التقدير المحدَّث15 نقطة
عدم اليقين المحدَّث15 نقطة
قياس أكثر تشويشًا10 نقطة
قياس شديد التشويش10 نقطة
طابق المصطلحات15 نقطة
نسبة تحوط منجرفة10 نقطة

تتبع حالة خفية

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

خطوة واحدة من المرشحنبدأ بـ

\hat x=100

P=4

مع

Q=1

R=5

. التنبؤ:

P^{-}=4+1=5

. الملاحظة

y=104

. الكسب

K=5/(5+5)=0.5

فيكون التحديث

\hat x=100+0.5\cdot(104-100)=102

وينخفض عدم اليقين إلى

P=(1-0.5)\cdot5=2.5

R=20

لهبط الكسب إلى

5/25=0.2

ولما تحرك التقدير إلا إلى

100.8

معادلة الحالة $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ ومعادلة الرصد $y_t=Hx_t+v_t$ بضجيج تباينه $Q$ و $R$ .
كسب كالمان $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : القريب من 0 يعني الثقة بالنموذج والقريب من 1 الثقة بالبيانات.
الاستعمالات: نسبة تحوط متغيرة للأزواج، وقيمة عادلة خلف أسعار مشوشة، وحالات التقلب؛ والابتكارات ينبغي أن تكون ضجيجًا أبيض.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

خطوة التنبؤ10 نقطة
كسب كالمان15 نقطة
التقدير المحدَّث15 نقطة
عدم اليقين المحدَّث15 نقطة
قياس أكثر تشويشًا10 نقطة
قياس شديد التشويش10 نقطة
طابق المصطلحات15 نقطة
نسبة تحوط منجرفة10 نقطة

نماذج فضاء الحالة ومرشح كالمان

تتبع حالة خفية

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

نماذج فضاء الحالة ومرشح كالمان

تتبع حالة خفية

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.