Zustandsraummodelle und der Kalman-Filter

Einen verborgenen Zustand verfolgen

Viele wichtige Größen sind nicht direkt zu sehen: der faire Wert einer Aktie hinter verrauschten Quotes, das Hedge-Verhältnis zweier Assets, das im Zeitverlauf driftet, das aktuelle Volatilitätsniveau. Ein Zustandsraummodell beschreibt sie mit zwei Gleichungen. Der Zustand entwickelt sich selbst, $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ mit Rauschvarianz $Q$. Was man beobachtet, ist eine verrauschte Sicht darauf, $y_t=Hx_t+v_t$ mit Rauschvarianz $R$. Der Kalman-Filter verbindet beide in einer Schleife, die die beste lineare Schätzung des Zustands aus den bisher gesehenen Daten samt ihrer Unsicherheit $P$ liefert. Er ist die exakte Lösung bei gaußschem Rauschen und linearem Modell.

Die obigen Formeln gehören zum skalaren Local-Level-Modell, bei dem das verborgene Niveau ein Random Walk ist ($F=H=1$). Jeder Schritt hat zwei Teile. Vorhersage: Die beste Schätzung des neuen Zustands ist die alte, und die Unsicherheit wächst um $Q$ auf $P^{-}=P+Q$. Aktualisierung: Der Gain $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ bestimmt, wie weit man sich zur neuen Beobachtung bewegt. Ein großes $R$ (verrauschte Messung) ergibt ein kleines $K$, der Filter vertraut seiner Vorhersage; ein kleines $R$ ergibt $K$ nahe 1, der Filter folgt den Daten. Nach der Aktualisierung sinkt die Unsicherheit auf $(1-K)P^{-}$. Der Prognosefehler $y-\hat x^{-}$, Innovation genannt, sollte bei richtigem Modell weißes Rauschen sein, und $Q$ und $R$ werden meist durch Maximieren der aus den Innovationen gebildeten Likelihood geschätzt.

• Zustandsgleichung $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ und Beobachtungsgleichung $y_t=Hx_t+v_t$ mit Rauschvarianzen $Q$ und $R$.
• Kalman-Gain $K=P^{-}/(P^{-}+R)$: nahe 0 vertraut man dem Modell, nahe 1 den Daten.
• Einsatz: zeitvariables Hedge-Verhältnis für Paare, fairer Wert hinter verrauschten Kursen, Volatilitätszustände; Innovationen sollten weißes Rauschen sein.

Lab: Was bewertet wird

• Der Vorhersageschritt10 Pkt.
• Der Kalman-Gain15 Pkt.
• Die aktualisierte Schätzung15 Pkt.
• Die aktualisierte Unsicherheit15 Pkt.
• Eine verrauschtere Messung10 Pkt.
• Eine sehr verrauschte Messung10 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Ein driftendes Hedge-Verhältnis10 Pkt.