Modelos de espacio de estados y el filtro de Kalman

Seguir un estado oculto

Muchas magnitudes importantes no se ven directamente: el valor razonable de una acción tras cotizaciones ruidosas, la razón de cobertura entre dos activos que deriva con el tiempo, el nivel actual de volatilidad. Un modelo de espacio de estados las describe con dos ecuaciones. El estado evoluciona por sí mismo, $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ con ruido de varianza $Q$ . Lo que se observa es una vista ruidosa de él, $y_t=Hx_t+v_t$ con ruido de varianza $R$ . El filtro de Kalman combina ambas en un bucle que da la mejor estimación lineal del estado con los datos vistos hasta ahora, junto con su incertidumbre $P$ . Es la solución exacta cuando los ruidos son gaussianos y el modelo lineal.

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Las fórmulas anteriores son las del modelo de nivel local escalar, donde el nivel oculto es un paseo aleatorio ( $F=H=1$ ). Cada paso tiene dos partes. Predecir: la mejor suposición del nuevo estado es la estimación anterior y la incertidumbre crece en $Q$ hasta $P^{-}=P+Q$ . Actualizar: la ganancia $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ decide cuánto moverse hacia la nueva observación. Un $R$ grande (medida ruidosa) da un $K$ pequeño y el filtro confía en su predicción; un $R$ pequeño da un $K$ cercano a 1 y el filtro sigue los datos. Tras la actualización la incertidumbre baja a $(1-K)P^{-}$ . El error de predicción $y-\hat x^{-}$ , llamado innovación, debe ser ruido blanco si el modelo es correcto, y $Q$ y $R$ suelen estimarse maximizando la verosimilitud construida con las innovaciones.

Un paso del filtroPartamos de

\hat x=100

P=4

, con

Q=1

R=5

. Predicción:

P^{-}=4+1=5

. La observación es

y=104

. La ganancia es

K=5/(5+5)=0{,}5

, así que la actualización da

\hat x=100+0{,}5\cdot(104-100)=102

y la incertidumbre baja a

P=(1-0{,}5)\cdot5=2{,}5

. La nueva estimación queda a medio camino entre predicción y observación porque son igual de inciertas. Con una medida más ruidosa,

R=20

, la ganancia bajaría a

5/25=0{,}2

y la estimación solo se movería a

100{,}8

Ecuación de estado $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ y ecuación de observación $y_t=Hx_t+v_t$ con ruidos de varianzas $Q$ y $R$ .
Ganancia de Kalman $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : cerca de 0 se confía en el modelo, cerca de 1 en los datos.
Usos: razón de cobertura variable en el tiempo para pares, valor razonable tras precios ruidosos, estados de volatilidad; las innovaciones deben ser ruido blanco.

Lab: qué se califica

El paso de predicción10 pts
La ganancia de Kalman15 pts
La estimación actualizada15 pts
La incertidumbre actualizada15 pts
Una medida más ruidosa10 pts
Una medida muy ruidosa10 pts
Emparejar el vocabulario15 pts
Una razón de cobertura que deriva10 pts

Seguir un estado oculto

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Un paso del filtroPartamos de

\hat x=100

P=4

, con

Q=1

R=5

. Predicción:

P^{-}=4+1=5

. La observación es

y=104

. La ganancia es

K=5/(5+5)=0{,}5

, así que la actualización da

\hat x=100+0{,}5\cdot(104-100)=102

y la incertidumbre baja a

P=(1-0{,}5)\cdot5=2{,}5

. La nueva estimación queda a medio camino entre predicción y observación porque son igual de inciertas. Con una medida más ruidosa,

R=20

, la ganancia bajaría a

5/25=0{,}2

y la estimación solo se movería a

100{,}8

Ecuación de estado $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ y ecuación de observación $y_t=Hx_t+v_t$ con ruidos de varianzas $Q$ y $R$ .
Ganancia de Kalman $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : cerca de 0 se confía en el modelo, cerca de 1 en los datos.
Usos: razón de cobertura variable en el tiempo para pares, valor razonable tras precios ruidosos, estados de volatilidad; las innovaciones deben ser ruido blanco.

Lab: qué se califica

El paso de predicción10 pts
La ganancia de Kalman15 pts
La estimación actualizada15 pts
La incertidumbre actualizada15 pts
Una medida más ruidosa10 pts
Una medida muy ruidosa10 pts
Emparejar el vocabulario15 pts
Una razón de cobertura que deriva10 pts

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