跟踪隐含状态
许多重要的量无法直接看到：嘈杂报价背后的股票公允价值、随时间漂移的两种资产之间的对冲比率、当前的波动率水平。状态空间模型用两个方程描述它们：状态自己演化，xt=Fxt−1+wt，噪声方差为 Q；观测则是它的带噪声的反映，yt=Hxt+vt，噪声方差为 R。卡尔曼滤波把两者结合在一个循环中，利用迄今所见的数据给出状态的最佳线性估计及其不确定性 P。当噪声为高斯分布、模型为线性时，它就是精确解。
x^−=x^,P−=P+Q;K=P−+RP−;x^=x^−+K(y−x^−);P=(1−K)P−(1) 上面的公式是标量局部水平模型的公式，其中隐含水平是随机游走（F=H=1）。每一步分两部分。预测：对新状态的最佳猜测是旧的估计值，不确定性增加 Q，变为 P−=P+Q。更新：增益 K=P−/(P−+R) 决定向新观测靠拢多远。R 大（测量噪声大）时 K 小，滤波器更相信自己的预测；R 小时 K 接近 1，滤波器紧跟数据。更新之后不确定性降到 (1−K)P−。预测误差 y−x^− 称为新息，若模型正确它应是白噪声；Q 和 R 通常通过最大化由新息构成的似然来估计。
滤波的一步从
x^=100、
P=4 开始，
Q=1，
R=5。预测：
P−=4+1=5。观测为
y=104。增益
K=5/(5+5)=0.5，更新得
x^=100+0.5⋅(104−100)=102，不确定性降为
P=(1−0.5)⋅5=2.5。因为预测与观测同样不确定，新估计恰在两者中间。若测量噪声更大，
R=20，增益降为
5/25=0.2，估计只会移到
100.8。
- 状态方程 xt=Fxt−1+wt 与观测方程 yt=Hxt+vt，噪声方差分别为 Q 和 R。
- 卡尔曼增益 K=P−/(P−+R)：接近 0 表示信任模型，接近 1 表示信任数据。
- 用途：配对的时变对冲比率、嘈杂价格背后的公允价值、波动率状态；新息应为白噪声。
实验：评分内容
- 预测步骤10 分
- 卡尔曼增益15 分
- 更新后的估计15 分
- 更新后的不确定性15 分
- 噪声更大的测量10 分
- 噪声极大的测量10 分
- 配对术语15 分
- 漂移的对冲比率10 分
