状態空間モデルとカルマンフィルタ

隠れ状態を追う

重要な量の多くは直接見えません。ノイズの多い気配値の裏にある株の適正価値、時間とともにドリフトする2資産間のヘッジ比率、現在のボラティリティ水準などです。状態空間モデルは2つの式でそれらを表します。状態は分散 $Q$ のノイズで自分自身が変化し、$x_t=Fx_{t-1}+w_t$、観測はそれにノイズが乗った像で、分散 $R$ のノイズを含む $y_t=Hx_t+v_t$ です。カルマンフィルタはこの2つを組み合わせるループで、これまでに見たデータから状態の最良の線形推定値と、その不確実性 $P$ を与えます。ノイズがガウス分布でモデルが線形なら、これは厳密な解です。

上の式は、隠れた水準がランダムウォークであるスカラーのローカルレベル・モデル（$F=H=1$）のものです。各ステップは2つの部分からなります。予測：新しい状態の最良の推測は古い推定値で、不確実性は $Q$ だけ増えて $P^{-}=P+Q$ になります。更新：ゲイン $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ が、新しい観測へどれだけ寄るかを決めます。$R$ が大きい（ノイズの多い測定）と $K$ は小さく、フィルタは自分の予測を信頼します。$R$ が小さいと $K$ は1に近く、データに従います。更新後の不確実性は $(1-K)P^{-}$ に下がります。予測誤差 $y-\hat x^{-}$ はイノベーションと呼ばれ、モデルが正しければホワイトノイズになるはずで、$Q$ と $R$ は通常イノベーションから作る尤度の最大化で推定します。

• 状態方程式 $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ と観測方程式 $y_t=Hx_t+v_t$。ノイズの分散は $Q$ と $R$。
• カルマンゲイン $K=P^{-}/(P^{-}+R)$：0に近いとモデルを、1に近いとデータを信頼する。
• 用途：ペアの時変ヘッジ比率、ノイズの多い価格の裏の適正価値、ボラティリティ状態。イノベーションはホワイトノイズであるべき。

ラボ：採点される内容

• 予測ステップ10点
• カルマンゲイン15点
• 更新後の推定値15点
• 更新後の不確実性15点
• よりノイズの多い測定10点
• 非常にノイズの多い測定10点
• 用語を結び付ける15点
• ドリフトするヘッジ比率10点