Modelos de espaço de estados e o filtro de Kalman

Acompanhar um estado oculto

Muitas grandezas importantes não se veem diretamente: o valor justo de uma ação por trás de cotações ruidosas, a razão de hedge entre dois ativos que deriva no tempo, o nível atual da volatilidade. Um modelo de espaço de estados as descreve com duas equações. O estado evolui por si, $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ com ruído de variância $Q$ . O que se observa é uma visão ruidosa dele, $y_t=Hx_t+v_t$ com ruído de variância $R$ . O filtro de Kalman combina as duas num laço que dá a melhor estimativa linear do estado com os dados vistos até agora, junto com sua incerteza $P$ . É a solução exata quando os ruídos são gaussianos e o modelo é linear.

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

As fórmulas acima são as do modelo de nível local escalar, em que o nível oculto é um passeio aleatório ( $F=H=1$ ). Cada passo tem duas partes. Prever: o melhor palpite para o novo estado é a estimativa antiga e a incerteza cresce em $Q$ até $P^{-}=P+Q$ . Atualizar: o ganho $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ decide quanto se mover rumo à nova observação. Um $R$ grande (medida ruidosa) dá $K$ pequeno e o filtro confia na sua previsão; um $R$ pequeno dá $K$ perto de 1 e o filtro segue os dados. Após a atualização a incerteza cai para $(1-K)P^{-}$ . O erro de previsão $y-\hat x^{-}$ , chamado inovação, deve ser ruído branco se o modelo estiver certo, e $Q$ e $R$ costumam ser estimados maximizando a verossimilhança construída com as inovações.

Um passo do filtroComece com

\hat x=100

P=4

, com

Q=1

R=5

. Previsão:

P^{-}=4+1=5

. A observação é

y=104

. O ganho é

K=5/(5+5)=0{,}5

, então a atualização dá

\hat x=100+0{,}5\cdot(104-100)=102

e a incerteza cai para

P=(1-0{,}5)\cdot5=2{,}5

. A nova estimativa fica a meio caminho entre previsão e observação porque são igualmente incertas. Com uma medida mais ruidosa,

R=20

, o ganho cairia para

5/25=0{,}2

e a estimativa só iria a

100{,}8

Equação de estado $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ e equação de observação $y_t=Hx_t+v_t$ com ruídos de variâncias $Q$ e $R$ .
Ganho de Kalman $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : perto de 0 confia-se no modelo, perto de 1 nos dados.
Usos: razão de hedge variável no tempo para pares, valor justo por trás de preços ruidosos, estados de volatilidade; as inovações devem ser ruído branco.

Lab: o que é avaliado

O passo de previsão10 pts
O ganho de Kalman15 pts
A estimativa atualizada15 pts
A incerteza atualizada15 pts
Uma medida mais ruidosa10 pts
Uma medida muito ruidosa10 pts
Associar o vocabulário15 pts
Uma razão de hedge que deriva10 pts

Acompanhar um estado oculto

\hat x^{-}=\hat x,\quad P^{-}=P+Q;\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R};\qquad \hat x=\hat x^{-}+K\,(y-\hat x^{-});\qquad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Um passo do filtroComece com

\hat x=100

P=4

, com

Q=1

R=5

. Previsão:

P^{-}=4+1=5

. A observação é

y=104

. O ganho é

K=5/(5+5)=0{,}5

, então a atualização dá

\hat x=100+0{,}5\cdot(104-100)=102

e a incerteza cai para

P=(1-0{,}5)\cdot5=2{,}5

. A nova estimativa fica a meio caminho entre previsão e observação porque são igualmente incertas. Com uma medida mais ruidosa,

R=20

, o ganho cairia para

5/25=0{,}2

e a estimativa só iria a

100{,}8

Equação de estado $x_t=Fx_{t-1}+w_t$ e equação de observação $y_t=Hx_t+v_t$ com ruídos de variâncias $Q$ e $R$ .
Ganho de Kalman $K=P^{-}/(P^{-}+R)$ : perto de 0 confia-se no modelo, perto de 1 nos dados.
Usos: razão de hedge variável no tempo para pares, valor justo por trás de preços ruidosos, estados de volatilidade; as inovações devem ser ruído branco.

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O ganho de Kalman15 pts
A estimativa atualizada15 pts
A incerteza atualizada15 pts
Uma medida mais ruidosa10 pts
Uma medida muito ruidosa10 pts
Associar o vocabulário15 pts
Uma razão de hedge que deriva10 pts

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