Kointegration und Paare

Zwei Walks, die zusammenbleiben

Zwei Kursreihen $x_t$ und $y_t$, die jeweils integriert erster Ordnung sind, können dennoch eine langfristige Verbindung teilen: Ist eine Kombination $z_t=y_t-\alpha-\beta x_t$ stationär, sind die Reihen kointegriert. Jede wandert, aber sie wandern gemeinsam, und der Abstand $z_t$ kehrt stets zu seinem Mittelwert zurück. Das ist die statistische Grundlage des Pairs Trading: Ist der Spread ungewöhnlich weit, verkauft man das teure Bein und kauft das billige, in der Erwartung, dass er sich schließt. Kointegration betrifft Kursniveaus auf lange Sicht. Sie unterscheidet sich von der Korrelation, die misst, ob sich Tagesrenditen gemeinsam bewegen, und nichts darüber sagt, ob die Niveaus nahe beieinander bleiben.

Der Engle-Granger-Test hat zwei Schritte. Zuerst wird $y_t$ per Kleinste-Quadrate auf $x_t$ regressiert, um $\alpha$ und das Hedge-Verhältnis $\beta$ zu schätzen. Dann wird ein ADF-Test auf die Residuen $z_t$ angewendet. Da die Residuen aus einer angepassten Regression stammen, sind die gewöhnlichen ADF-Werte zu großzügig, und es gelten die Engle-Granger-Werte: etwa $-3{,}34$ bei 5 % für zwei Reihen mit Konstante. Wird die Einheitswurzel verworfen, ist das Paar kointegriert, und der Spread kehrt mit der Halbwertszeit $\ln(1/2)/\ln\varphi$ zum Mittelwert zurück, wobei $\varphi$ der AR(1)-Koeffizient des Spreads ist. Die Fehlerkorrektur-Sicht sagt: War der gestrige Spread positiv, fällt heute $y$ oder steigt $x$. Zum Handeln standardisiert man den Spread zu einem z-Score, steigt ein, wenn $|Z|$ etwa 2 übersteigt, steigt nahe 0 aus und dimensioniert die Beine mit $\beta$. Die Risiken sind real: Die Beziehung kann brechen, $\beta$ driftet, Kosten fressen kleine Spreads, und das Testen tausender Paare findet viele, die zufällig bestehen; wählen Sie Paare aus ökonomischem Grund und bestätigen Sie außerhalb der Stichprobe.

• Kointegriert: Jede Reihe wandert, aber eine Linearkombination ist stationär.
• Engle-Granger: regressieren, dann die Residuen mit ADF und den strengeren Engle-Granger-Werten testen.
• Pairs Trade: den z-Score des Spreads handeln, Beine mit $\beta$ dimensionieren und erwarten, dass er sich in etwa einer Halbwertszeit schließt.

Lab: Was bewertet wird

• Der Spread15 Pkt.
• Der z-Score10 Pkt.
• Die Halbwertszeit des Spreads15 Pkt.
• Die Beine dimensionieren10 Pkt.
• Den Test lesen15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Einen Pairs Trade aufbauen10 Pkt.
• Korrelation ist keine Kointegration10 Pkt.