Revisão do filtro de Kalman

O filtro para curvas em sino

Quando o estado se move de forma linear e todo o ruído tem forma de sino, acontece algo bom: a crença sobre o estado continua sendo um sino para sempre. Um sino só precisa de dois números, sua média $m$ e sua variância $P$ , então um filtro só precisa carregar esses dois. É o filtro de Kalman, e é a resposta exata nesse cenário. A cada dia ele faz dois passos. Prever: a média fica, a variância cresce $q$ . Atualizar: a observação $y$ puxa a média para si numa fração $K$ , chamada ganho, e a variância diminui.

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

A atualização é só uma média ponderada: a nova média é $(1-K)\,m^{-}+K\,y$ . O ganho $K$ fica entre $0$ e $1$ . Aproxima-se de $1$ quando a previsão é muito incerta ( $P^{-}$ grande) ou a observação é precisa ( $r$ pequeno), então se confia nos dados. Aproxima-se de $0$ no caso oposto, e se confia na previsão. A diferença $y-m^{-}$ é a surpresa, chamada inovação. Cada atualização reduz a variância, pois $1-K<1$ , enquanto cada previsão a aumenta em $q$ . Com tempo suficiente os dois se equilibram num nível estável.

Dois dias de filtragemTome a crença

N(0,2)

q=0{,}5

r=1

e a primeira observação

y_1=2

. Previsão:

P^{-}=2{,}5

. Ganho:

K=2{,}5/3{,}5=0{,}714

. Atualização:

m_1=0+0{,}714\times2=1{,}429

P_1=(1-0{,}714)\times2{,}5=0{,}714

. No dia seguinte,

y_2=1

: previsão

P^{-}=0{,}714+0{,}5=1{,}214

K=1{,}214/2{,}214=0{,}548

. A surpresa é

1-1{,}429=-0{,}429

, então

m_2=1{,}429-0{,}548\times0{,}429=1{,}194

. No longo prazo a variância prevista se estabiliza onde

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

, que para esses números é exatamente

1

e dá um ganho estável de

0{,}5

O mesmo filtro acompanha um beta variável. O estado é o beta $\beta_t$ , que deriva como um passeio aleatório, e a observação é o retorno de uma ação $y_t=\beta_t\,m_t+e_t$ , em que $m_t$ é o retorno do mercado. A única mudança é que o ganho passa a ser $K=P^{-}m_t/(P^{-}m_t^{2}+r)$ : um grande movimento do mercado ensina muito sobre o beta, um dia com $m_t\approx0$ ensina quase nada. Na Apple contra o SPY desde 2005, o beta da amostra toda é $1{,}07$ , enquanto um filtro de Kalman com $q=10^{-3}$ o coloca em $0{,}77$ no fim de 2008, $1{,}42$ no fim de 2018 e $0{,}40$ no último dia, com erro padrão de cerca de $0{,}25$ .

Dois números por dia: uma média e uma variância bastam quando tudo é linear e em sino.
O ganho é um botão de confiança: $K$ perto de $1$ confia nos dados novos, perto de $0$ na previsão.
Limites: se a própria volatilidade é oculta ou o ruído tem caudas grossas, a crença deixa de ser um sino e precisamos de partículas.

Lab: o que é avaliado

O primeiro ganho15 pts
A média atualizada15 pts
A variância atualizada10 pts
Segundo dia15 pts
O nível estável10 pts
Uma observação mais ruidosa10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que uma atualização reduz a variância15 pts

O filtro para curvas em sino

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Dois dias de filtragemTome a crença

N(0,2)

q=0{,}5

r=1

e a primeira observação

y_1=2

. Previsão:

P^{-}=2{,}5

. Ganho:

K=2{,}5/3{,}5=0{,}714

. Atualização:

m_1=0+0{,}714\times2=1{,}429

P_1=(1-0{,}714)\times2{,}5=0{,}714

. No dia seguinte,

y_2=1

: previsão

P^{-}=0{,}714+0{,}5=1{,}214

K=1{,}214/2{,}214=0{,}548

. A surpresa é

1-1{,}429=-0{,}429

, então

m_2=1{,}429-0{,}548\times0{,}429=1{,}194

. No longo prazo a variância prevista se estabiliza onde

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

, que para esses números é exatamente

1

e dá um ganho estável de

0{,}5

Dois números por dia: uma média e uma variância bastam quando tudo é linear e em sino.
O ganho é um botão de confiança: $K$ perto de $1$ confia nos dados novos, perto de $0$ na previsão.
Limites: se a própria volatilidade é oculta ou o ruído tem caudas grossas, a crença deixa de ser um sino e precisamos de partículas.

Lab: o que é avaliado

O primeiro ganho15 pts
A média atualizada15 pts
A variância atualizada10 pts
Segundo dia15 pts
O nível estável10 pts
Uma observação mais ruidosa10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que uma atualização reduz a variância15 pts

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