Repaso del filtro de Kalman

El filtro para campanas de Gauss

Cuando el estado se mueve de forma lineal y todo el ruido tiene forma de campana, ocurre algo agradable: la creencia sobre el estado sigue siendo una campana para siempre. Una campana solo necesita dos números, su media $m$ y su varianza $P$ , así que un filtro solo debe llevar esos dos. Es el filtro de Kalman, y es la respuesta exacta en este marco. Cada día hace dos pasos. Predecir: la media se queda, la varianza crece en $q$ . Actualizar: la observación $y$ atrae la media hacia sí en una fracción $K$ , llamada ganancia, y la varianza se reduce.

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

La actualización es solo un promedio ponderado: la nueva media es $(1-K)\,m^{-}+K\,y$ . La ganancia $K$ está entre $0$ y $1$ . Se acerca a $1$ cuando la predicción es muy incierta ( $P^{-}$ grande) o la observación precisa ( $r$ pequeño), así que se confía en los datos. Se acerca a $0$ en el caso contrario, y se confía en la predicción. La diferencia $y-m^{-}$ es la sorpresa, llamada innovación. Cada actualización reduce la varianza, porque $1-K<1$ , mientras cada predicción la aumenta en $q$ . Con el tiempo suficiente ambas se equilibran en un nivel estable.

Dos días de filtradoTomemos la creencia

N(0,2)

q=0{,}5

r=1

y la primera observación

y_1=2

. Predicción:

P^{-}=2{,}5

. Ganancia:

K=2{,}5/3{,}5=0{,}714

. Actualización:

m_1=0+0{,}714\times2=1{,}429

P_1=(1-0{,}714)\times2{,}5=0{,}714

. Al día siguiente,

y_2=1

: predicción

P^{-}=0{,}714+0{,}5=1{,}214

K=1{,}214/2{,}214=0{,}548

. La sorpresa es

1-1{,}429=-0{,}429

, así que

m_2=1{,}429-0{,}548\times0{,}429=1{,}194

. A largo plazo la varianza prevista se estabiliza donde

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

, que para estos números es exactamente

1

y da una ganancia estable de

0{,}5

El mismo filtro sigue una beta variable. El estado es la beta $\beta_t$ , que deriva como un paseo aleatorio, y la observación es el rendimiento de una acción $y_t=\beta_t\,m_t+e_t$ , donde $m_t$ es el rendimiento del mercado. El único cambio es que la ganancia pasa a ser $K=P^{-}m_t/(P^{-}m_t^{2}+r)$ : un gran movimiento del mercado enseña mucho sobre la beta, un día con $m_t\approx0$ casi nada. En Apple frente a SPY desde 2005, la beta de toda la muestra es $1{,}07$ , mientras que un filtro de Kalman con $q=10^{-3}$ la sitúa en $0{,}77$ a fines de 2008, $1{,}42$ a fines de 2018 y $0{,}40$ el último día, con un error estándar de unos $0{,}25$ .

Dos números por día: una media y una varianza bastan cuando todo es lineal y en campana.
La ganancia es un dial de confianza: $K$ cerca de $1$ confía en los datos nuevos, cerca de $0$ en la predicción.
Límites: si la volatilidad misma está oculta o el ruido tiene colas gruesas, la creencia ya no es una campana y se necesitan partículas.

Lab: qué se califica

La primera ganancia15 pts
La media actualizada15 pts
La varianza actualizada10 pts
Segundo día15 pts
El nivel estable10 pts
Una observación más ruidosa10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
Por qué una actualización reduce la varianza15 pts

El filtro para campanas de Gauss

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

Dos días de filtradoTomemos la creencia

N(0,2)

q=0{,}5

r=1

y la primera observación

y_1=2

. Predicción:

P^{-}=2{,}5

. Ganancia:

K=2{,}5/3{,}5=0{,}714

. Actualización:

m_1=0+0{,}714\times2=1{,}429

P_1=(1-0{,}714)\times2{,}5=0{,}714

. Al día siguiente,

y_2=1

: predicción

P^{-}=0{,}714+0{,}5=1{,}214

K=1{,}214/2{,}214=0{,}548

. La sorpresa es

1-1{,}429=-0{,}429

, así que

m_2=1{,}429-0{,}548\times0{,}429=1{,}194

. A largo plazo la varianza prevista se estabiliza donde

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

, que para estos números es exactamente

1

y da una ganancia estable de

0{,}5

Dos números por día: una media y una varianza bastan cuando todo es lineal y en campana.
La ganancia es un dial de confianza: $K$ cerca de $1$ confía en los datos nuevos, cerca de $0$ en la predicción.
Límites: si la volatilidad misma está oculta o el ruido tiene colas gruesas, la creencia ya no es una campana y se necesitan partículas.

Lab: qué se califica

La primera ganancia15 pts
La media actualizada15 pts
La varianza actualizada10 pts
Segundo día15 pts
El nivel estable10 pts
Una observación más ruidosa10 pts
Emparejar el vocabulario10 pts
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