مراجعة مرشح كالمان

المرشح للمنحنيات الجرسية

حين تتحرك الحالة بطريقة خطية ويكون كل الضجيج جرسي الشكل يحدث شيء جميل: يبقى الاعتقاد عن الحالة منحنى جرسيًا إلى الأبد. والمنحنى الجرسي لا يحتاج إلا رقمين هما متوسطه $m$ وتباينه $P$ فلا يحمل المرشح غيرهما. وهذا هو مرشح كالمان وهو الجواب الدقيق في هذا الإطار. وكل يوم يقوم بخطوتين. التنبؤ: يبقى المتوسط ويزيد التباين بمقدار $q$ . التحديث: تسحب الملاحظة $y$ المتوسط نحوها بكسر $K$ يسمى الكسب ويقل التباين.

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

التحديث مجرد متوسط موزون: المتوسط الجديد هو $(1-K)\,m^{-}+K\,y$ . والكسب $K$ بين $0$ و $1$ . ويقترب من $1$ حين يكون التنبؤ شديد عدم اليقين ( $P^{-}$ كبير) أو الملاحظة دقيقة ( $r$ صغير) فتثق بالبيانات. ويقترب من $0$ في الحالة المعاكسة فتثق بالتنبؤ. والفرق $y-m^{-}$ هو المفاجأة وتسمى الابتكار. وكل تحديث يقلل التباين لأن $1-K<1$ بينما يزيده كل تنبؤ بمقدار $q$ . ومع الزمن الكافي يتوازنان عند مستوى ثابت.

يومان من الترشيحخذ الاعتقاد

N(0,2)

q=0.5

r=1

والملاحظة الأولى

y_1=2

. التنبؤ:

P^{-}=2.5

. الكسب:

K=2.5/3.5=0.714

. التحديث:

m_1=0+0.714\times2=1.429

P_1=(1-0.714)\times2.5=0.714

. في اليوم التالي

y_2=1

: التنبؤ

P^{-}=0.714+0.5=1.214

K=1.214/2.214=0.548

. والمفاجأة

1-1.429=-0.429

فيكون

m_2=1.429-0.548\times0.429=1.194

. وعلى المدى الطويل يستقر تباين التنبؤ حيث

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

وهو لهذه الأرقام

1

تمامًا ويعطي كسبًا ثابتًا

0.5

يتتبع المرشح نفسه بيتا متغيرة. الحالة هي بيتا $\beta_t$ التي تنجرف كسير عشوائي والملاحظة هي عائد السهم $y_t=\beta_t\,m_t+e_t$ حيث $m_t$ عائد السوق. والتغير الوحيد أن الكسب يصبح $K=P^{-}m_t/(P^{-}m_t^{2}+r)$ : فحركة السوق الكبيرة تعلّم الكثير عن بيتا ويوم $m_t\approx0$ لا يعلّم شيئًا تقريبًا. وفي أبل مقابل SPY منذ 2005 تبلغ بيتا العينة كلها $1.07$ بينما يضعها مرشح كالمان بـ $q=10^{-3}$ عند $0.77$ في نهاية 2008 و $1.42$ في نهاية 2018 و $0.40$ في اليوم الأخير بخطأ معياري نحو $0.25$ .

رقمان كل يوم: يكفي متوسط وتباين حين يكون كل شيء خطيًا وجرسيًا.
الكسب قرص ثقة: $K$ قرب $1$ يثق بالبيانات الجديدة وقرب $0$ يثق بالتنبؤ.
الحدود: إذا كان التقلب نفسه خفيًا أو للضجيج أذيال ثقيلة لم يعد الاعتقاد جرسيًا ونحتاج إلى الجسيمات.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

الكسب الأول15 نقطة
المتوسط المحدَّث15 نقطة
التباين المحدَّث10 نقطة
اليوم الثاني15 نقطة
المستوى الثابت10 نقطة
ملاحظة أكثر ضجيجًا10 نقطة
طابق المصطلحات10 نقطة
لماذا يقلل التحديث التباين15 نقطة

المرشح للمنحنيات الجرسية

P^{-}=P+q,\quad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\quad m=m^{-}+K\,(y-m^{-}),\quad P=(1-K)\,P^{-}

(1)

يومان من الترشيحخذ الاعتقاد

N(0,2)

q=0.5

r=1

والملاحظة الأولى

y_1=2

. التنبؤ:

P^{-}=2.5

. الكسب:

K=2.5/3.5=0.714

. التحديث:

m_1=0+0.714\times2=1.429

P_1=(1-0.714)\times2.5=0.714

. في اليوم التالي

y_2=1

: التنبؤ

P^{-}=0.714+0.5=1.214

K=1.214/2.214=0.548

. والمفاجأة

1-1.429=-0.429

فيكون

m_2=1.429-0.548\times0.429=1.194

. وعلى المدى الطويل يستقر تباين التنبؤ حيث

P^{-}=q+P^{-}r/(P^{-}+r)

وهو لهذه الأرقام

1

تمامًا ويعطي كسبًا ثابتًا

0.5

رقمان كل يوم: يكفي متوسط وتباين حين يكون كل شيء خطيًا وجرسيًا.
الكسب قرص ثقة: $K$ قرب $1$ يثق بالبيانات الجديدة وقرب $0$ يثق بالتنبؤ.
الحدود: إذا كان التقلب نفسه خفيًا أو للضجيج أذيال ثقيلة لم يعد الاعتقاد جرسيًا ونحتاج إلى الجسيمات.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

الكسب الأول15 نقطة
المتوسط المحدَّث15 نقطة
التباين المحدَّث10 نقطة
اليوم الثاني15 نقطة
المستوى الثابت10 نقطة
ملاحظة أكثر ضجيجًا10 نقطة
طابق المصطلحات10 نقطة
لماذا يقلل التحديث التباين15 نقطة

مراجعة مرشح كالمان

المرشح للمنحنيات الجرسية

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

مراجعة مرشح كالمان

المرشح للمنحنيات الجرسية

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.