钟形曲线的滤波器
当状态做线性变动、噪声都是钟形时，会出现一个好结果：关于状态的信念永远是一条钟形曲线。钟形曲线只需要两个数，均值 m 和方差 P，所以滤波器只要带着这两个数就行。这就是卡尔曼滤波，在这种设定下它给出的是精确答案。它每天走两步。预测：均值不变，方差增加 q。更新：观测 y 把均值朝自己拉近一个比例 K（称为增益），方差随之减小。
P−=P+q,K=P−+rP−,m=m−+K(y−m−),P=(1−K)P−(1) 更新其实就是加权平均：新均值为 (1−K)m−+Ky。增益 K 在 0 与 1 之间。当预测很不确定（P− 大）或观测很精确（r 小）时，K 接近 1，你更相信数据；反之接近 0，你更相信预测。差值 y−m− 是“意外”，称为新息。每次更新都会减小方差（因为 1−K<1），每次预测又使其增加 q。运行足够久之后，两者在一个稳定水平上达到平衡。
两天的滤波取信念
N(0,2)、
q=0.5、
r=1，第一个观测
y1=2。预测：
P−=2.5。增益：
K=2.5/3.5=0.714。更新：
m1=0+0.714×2=1.429，
P1=(1−0.714)×2.5=0.714。第二天
y2=1：预测
P−=0.714+0.5=1.214，
K=1.214/2.214=0.548。意外为
1−1.429=−0.429，所以
m2=1.429−0.548×0.429=1.194。长期来看，预测方差稳定在满足
P−=q+P−r/(P−+r) 的位置，对这组数恰好是
1，稳态增益为
0.5。
同一个滤波器还能跟踪随时间变化的贝塔。状态是像随机游走一样漂移的贝塔 βt，观测是股票收益 yt=βtmt+et，其中 mt 是市场收益。唯一的改变是增益变成 K=P−mt/(P−mt2+r)：市场大幅波动的日子对贝塔很有信息，mt≈0 的日子几乎没有信息。2005 年以来苹果对 SPY 的全样本贝塔是 1.07，而 q=10−3 的卡尔曼滤波给出：2008 年底 0.77，2018 年底 1.42，最后一天 0.40，标准误差约 0.25。
- 每天两个数：一切都是线性且钟形时，均值和方差就够了。
- 增益是信任旋钮：K 接近 1 信任新数据，接近 0 信任预测。
- 局限：如果波动率本身是隐藏的，或噪声有厚尾，信念就不再是钟形，需要用粒子。
实验：评分内容
- 第一个增益15 分
- 更新后的均值15 分
- 更新后的方差10 分
- 第二天15 分
- 稳态水平10 分
- 噪声更大的观测10 分
- 配对术语10 分
- 为什么更新会减小方差15 分
