再看状态空间模型

路线进度模块 1/3 · 主题 1/2

1.1 再看状态空间模型

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

跟踪看不见的东西

股票的贝塔、波动率、价差的合理水平：没有人能从屏幕上直接读出这些数。每天看到的是价格或收益，也就是隐藏量加上噪声。状态空间模型用两个方程把它写出来：状态 $x_t$ 是隐藏量，每天会小幅变动；观测 $y_t$ 是你实际测到的值。最简单的情形是局部水平模型：状态做随机游走，每个观测都是状态加上测量噪声。

x_t=x_{t-1}+w_t,\ \ w_t\sim N(0,q),\qquad y_t=x_t+v_t,\ \ v_t\sim N(0,r)

(1)

这里 $q$ 是状态一天内游走的幅度， $r$ 是单次观测的噪声大小。三个问题反复出现：预测是在看到明天的数据之前问明天状态会在哪里；滤波是在看到今天的观测之后问状态现在在哪里；平滑是在更多数据到来之后问状态过去在哪里。需要实时数字的交易员只能用滤波。三者都把信念保存为带均值和方差的钟形曲线：预测使方差增加 $q$ ，因为状态可能动过；看到观测使方差减小，因为观测带来了信息。

用数字看第一眼设信念为

x_0\sim N(0,2)

，取

q=0.5

、

r=1

。动一天、还没有数据时，

x_1

的方差是

2+0.5=2.5

。观测再加上它自己的噪声，所以

y_1

的预测方差是

2.5+1=3.5

，均值为

0

。

y_1

超过

2

的概率就是标准正态超过

2/\sqrt{3.5}=1.07

的概率，约

14\%

。没有数据时，方差每天继续增加

0.5

：四天后是

2+4\times0.5=4

。

状态与观测：状态是隐藏的、变动缓慢；观测带噪声、每天到来。
先预测再更新：预测步骤增加不确定性 $q$ ，更新步骤用数据消除其中一部分。
与隐马尔可夫模型思路相同：那里状态只有几个取值，这里是数轴上的一个数。

实验：评分内容

动一步15 分
观测的方差15 分
四天没有数据15 分
较大的观测值10 分
哪些量是隐藏的10 分
滤波周期10 分
配对术语10 分
为什么要滤波15 分

0/ 已答 8 题

1数值作答15 分未作答

关于 $x_0$ 的信念是 $N(0,2)$ ，状态以 $q=0.5$ 变动。在任何数据到来之前， $x_1$ 的方差是多少？

P =

允许误差:± 0.01

2数值作答15 分未作答

状态的方差为 $2.5$ ，测量噪声的方差为 $r=1$ 。观测 $y_1$ 的预测方差是多少？

S =

允许误差:± 0.01

3数值作答15 分未作答

从方差 $2$ 出发，让状态在 $q=0.5$ 、没有观测的情况下变动四天。 $x_4$ 的方差是多少？

P4 =

允许误差:± 0.01

4数值作答10 分未作答

观测 $y_1$ 服从 $N(0,3.5)$ ， $2$ 的标准化值为 $z=1.07$ 。已知标准正态的 $P(Z>1.07)\approx0.143$ ，请给出 $y_1$ 大于 $2$ 的概率，保留三位小数。

p =

允许误差:± 0.003

5选择10 分未作答

下列哪些是从来无法直接从市场读出的隐含状态？选出所有正确项。

6排列步骤10 分未作答

把一个滤波周期的步骤按正确顺序排列。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1用观测更新信念
2从昨天的信念开始
3明天用新的信念重复
4观测今天的值
5预测状态移动到了哪里

7配对10 分未作答

把每个术语与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

状态噪声 q

测量噪声 r

滤波

平滑

8用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么像滤波那样把预测与观测结合起来，比只用最新的带噪观测更能估好隐含状态。

评分依据:单次观测有噪声，单独使用可能离真实状态很远预测带着此前数据的信息，把它与新数据混合可以平均掉噪声0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/8 题 · Ctrl ⏎ 检查

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跟踪看不见的东西

x_t=x_{t-1}+w_t,\ \ w_t\sim N(0,q),\qquad y_t=x_t+v_t,\ \ v_t\sim N(0,r)

(1)

用数字看第一眼设信念为

x_0\sim N(0,2)

，取

q=0.5

、

r=1

。动一天、还没有数据时，

x_1

的方差是

2+0.5=2.5

。观测再加上它自己的噪声，所以

y_1

的预测方差是

2.5+1=3.5

，均值为

0

。

y_1

超过

2

的概率就是标准正态超过

2/\sqrt{3.5}=1.07

的概率，约

14\%

。没有数据时，方差每天继续增加

0.5

：四天后是

2+4\times0.5=4

。

状态与观测：状态是隐藏的、变动缓慢；观测带噪声、每天到来。
先预测再更新：预测步骤增加不确定性 $q$ ，更新步骤用数据消除其中一部分。
与隐马尔可夫模型思路相同：那里状态只有几个取值，这里是数轴上的一个数。

实验：评分内容

动一步15 分
观测的方差15 分
四天没有数据15 分
较大的观测值10 分
哪些量是隐藏的10 分
滤波周期10 分
配对术语10 分
为什么要滤波15 分

0/ 已答 8 题

1数值作答15 分未作答

关于 $x_0$ 的信念是 $N(0,2)$ ，状态以 $q=0.5$ 变动。在任何数据到来之前， $x_1$ 的方差是多少？

P =

允许误差:± 0.01

2数值作答15 分未作答

状态的方差为 $2.5$ ，测量噪声的方差为 $r=1$ 。观测 $y_1$ 的预测方差是多少？

S =

允许误差:± 0.01

3数值作答15 分未作答

从方差 $2$ 出发，让状态在 $q=0.5$ 、没有观测的情况下变动四天。 $x_4$ 的方差是多少？

P4 =

允许误差:± 0.01

4数值作答10 分未作答

观测 $y_1$ 服从 $N(0,3.5)$ ， $2$ 的标准化值为 $z=1.07$ 。已知标准正态的 $P(Z>1.07)\approx0.143$ ，请给出 $y_1$ 大于 $2$ 的概率，保留三位小数。

p =

允许误差:± 0.003

5选择10 分未作答

下列哪些是从来无法直接从市场读出的隐含状态？选出所有正确项。

6排列步骤10 分未作答

把一个滤波周期的步骤按正确顺序排列。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1用观测更新信念
2从昨天的信念开始
3明天用新的信念重复
4观测今天的值
5预测状态移动到了哪里

7配对10 分未作答

把每个术语与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

状态噪声 q

测量噪声 r

滤波

平滑

8用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么像滤波那样把预测与观测结合起来，比只用最新的带噪观测更能估好隐含状态。

评分依据:单次观测有噪声，单独使用可能离真实状态很远预测带着此前数据的信息，把它与新数据混合可以平均掉噪声0 / 400 字

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